פרדוקס התאומים

פרדוקס התאומים הוא ניסוי מחשבתי בתורת היחסות הפרטית: התאום הראשון טס לחלל במהירות גבוהה מאוד וחוזר לכדור הארץ, ואילו השני נשאר בכדור הארץ. על פי תורת היחסות הפרטית, תנועה במהירות גבוהה מאיטה את זרימת הזמן. מכאן קיימים שני טיעונים סותרים: התאום שטס נע במהירות גבוהה יחסית לתאום שנשאר, ועל כן התבגר פחות מזה שנשאר, ויהיה צעיר ממנו. מאידך, כיוון שיחסות פרטית מבוססת על ההנחה שאין מסגרת התייחסות מועדפת, ניתן לטעון שהתאום שנשאר בכדור הארץ נע יחסית לתאום בחללית, ועל כן דווקא הוא שיהיה צעיר יותר.

הפרדוקס למעשה אינו קיים, מאחר שיחסות פרטית אינה מטפלת במקרים בהם קיימת תאוצה. העובדה שהתאום בחללית עובר תאוצה על מנת להפוך את כיוון הטיסה מוציאה את ניסוי התאומים ממסגרת יחסות פרטית אל תורת היחסות הכללית, בה לא נמצא פרדוקס.

תיאור הפרדוקס

תאום אחד נשאר בכדור הארץ בעוד אחיו מתרחק בחללית במהירות גבוהה מאוד, הקרובה למהירות האור. בשלב מסוים האח מסתובב ושב אל כדור הארץ. על פי תורת היחסות, בחללית יימשך המסע זמן מועט יותר מאשר על פני כדור הארץ, מה שיוביל לכך שהאח בחללית יחזור צעיר מהאח שנותר על פני כדור הארץ.

לדוגמה נניח שהמסע הוא אל הכוכב ε בארידנוס, שמרחקו ממערכת השמש כעשר שנות אור, כלומר $L_{0}=10LY$, ושמהירות החללית היא $v=0.8c$‏, כלומר 80% ממהירות האור.

על פי התאום שנשאר בכדור הארץ, זמן המסע הלוך וחזור כפי שנמדד על כדור הארץ הוא

$T_{0}=2\times {\frac {L_{0}}{v}}=2\times {\frac {10}{0.8}}=25Y$

ולפי טרנספורמציית לורנץ, הזמן שימדוד התאום בחללית הוא

$T_{s}=T_{0}\times {\sqrt {1-(v^{2}/c^{2})}}=25\times {\sqrt {1-0.8^{2}}}=15Y$.

על פי התאום בחללית הוא נמצא במנוחה, ואילו כדור הארץ, שעליו אחיו התאום, והכוכב ε בארידנוס נעים על פניו במהירות של 80% ממהירות האור. בעקבות זאת המרחק ביניהם מתכווץ לפי טרנספורמציית לורנץ, כך שהמרחק שעליו לעבור הוא

$L_{s}=L_{0}\times {\sqrt {1-(v^{2}/c^{2})}}=10\times {\sqrt {1-0.8^{2}}}=6LY$

בלבד, ובמהירות של 80% ממהירות האור המסע הלוך ושוב יארך

$T_{s}=2\times {\frac {L_{s}}{v}}=2\times {\frac {6}{0.8}}=15Y$,

בדיוק כפי שחישב התאום שנשאר על כדור הארץ.

לכן שני התאומים מסכימים למעשה שהתאום בחללית יהיה צעיר יותר כשייפגשו שנית. מבחינת התאום שנשאר על כדור הארץ בגלל אפקט התארכות הזמן ומבחינת תאומו הנוסע בגלל התכווצות המרחק.

הפרדוקס מתואר בצורה ציורית ובעזרת תאומים, אך למעשה אין צורך בתאומים או בבני אדם בכלל. ניסוי שקול יהיה לאפס שני שעונים, לשלוח אחד מהם למסע במהירות גבוהה, ולהשוות את הזמן שמדד כל אחד מהם כאשר הם נפגשים שוב בסוף המסע. הזמן שמדד כל שעון יהיה שונה, משום ששעון מודד את הזמן העצמי במערכת המנוחה הרגעית שלו ולא, כפי שנוטים לחשוב באופן אינטואיטיבי, זמן אבסולוטי שמשותף לכל העצמים ביקום.

מהות הפרדוקס

הפרדוקס־לכאורה נעוץ בסימטריה המדומה בין שני התאומים: הם התחילו את המסע יחד, והמהירות של כל אחד מהם יחסית לאחר היא אותה מהירות. אם כך מדוע יש הבדל ביניהם, ודווקא זה ש"עזב" הוא שיישאר צעיר יותר?

למעשה אין סימטרייה בין השניים. התאום שנשאר בכדור הארץ נע במהירות קבועה לאורך כל הניסוי. לפיכך מערכת הייחוס שלו היא מערכת אינרציאלית. אחיו נוסע במהירות מסוימת, ולאחר מכן הופך את כיוון תנועתו כדי לחזור. כאשר הוא משנה את כיוונה של מהירותו, הוא מאיץ. יחסות פרטית אינה מטפלת בתנאי תאוצה אלא במערכות אינרציאליות בלבד, והחישוב שנעשה על פיה אינו תקף.

הסיבה לפרק הזמן השונה שעבר על שני התאומים היא שאומנם הם היו בשני מאורעות יחדיו: היציאה למסע והפגישה בסופו – אך הם עברו מסלולים שונים במרחב־זמן בין שני המאורעות הללו, דבר הניתן לחישוב ביחסות כללית ומניב תוצאה שאינה סימטרית לשני התאומים.

גרסה נוספת לפרדוקס התאומים, שמסבירה את הפרדוקס ללא תאוצות, הוא העברת קריאת השעון מאסטרונאוט "יוצא" לאסטרונאוט "חוזר"; כלומר ממערכת ייחוס אינרציאלית אחת למערכת ייחוס אינרציאלית אחרת. מכיוון שסינכרון השעונים שונה בשתי מערכות הייחוס האינרציאליות, תהיה "קפיצה" בקריאה של זמן השעון של כדור הארץ של האסטרונאוט ה"חוזר".

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא פרדוקס התאומים בוויקישיתוף

• מהו "פרדוקס התאומים"? מאת בלדד השוחי
• מאמרים הקשורים לפרדוקס התאומים, באתר הידען
• טיפול אנליטי בפרדוקס התאומים בבלוג "רשימות בפיזיקה עיונית"
• פרדוקס התאומים: מה קורה כשלתאום שנוסע יש טלסקופ?(הקישור אינו פעיל) ניתוח של צפייה רציפה בתהליך ההזדקנות של התאום שנשאר מאחור.
• פרדוקס התאומים, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)