אנטרופיית רניי

בשנת 1961 הציג אלפרד רניי את משפחת האנטרופיות הפרמטריות, כהכללה מתמטית של אנטרופיית שאנון. רניי מעוניין היה למצוא שיטת מדידת מידע כללית ביותר המשמרת את תכונת האדיטיביות של מערכות סטטיסטיות בלתי תלויות, ומתואמת עם אקסיומות ההסתברות. לאנטרופיית רניי מספר יישומים בתורת הקודים, מכניקה סטטיסטית, סטטיסטיקה ותחומים נוספים אחרים.

אנטרופיית רני

הגדרה

יהי $X$ משתנה מקרי בדיד בעל תומך ${\mathcal {X}}=\{x_{i}|1\leq i\leq n\}$ ופונקציית הסתברות $p_{i}$, המקיימת $p_{i}=Pr_{X}(x_{i})$. אנטרופיית רניי מסדר $\alpha$ (כאשר $\alpha \geq 0$) עבור $X$ תהא:

$$H_{\alpha }(X)\triangleq {\begin{cases}{1 \over 1-\alpha }\log {\sum _{i=1}^{n}p_{i}^{\alpha }}&{\mbox{if }}\alpha \neq 1\\H_{1}(X)&{\mbox{if }}\alpha =1\end{cases}}$$

כאשר: בדר"כ בסיס הלוגריתם הינו 2 ו- $H_{1}(X)=-\sum _{i=1}^{n}p_{i}\log {p_{i}}$ הינה אנטרופיית שאנון. כמו כן, ${\displaystyle \alpha }$ פרמטר חסר יחידות הנקרא אינדקס האנטרופיה, ומאפיין את דרגת אי האקסטנסיביות של המערכת. אין שיטה כללית לדעת מהו ערכו של אינדקס האנטרופיה, וניתן להשתמש בו על מנת להתאים את רגישות הביטוי לצורת התפלגות ההסתברות. במקרה בו פונקציית ההסתברות מתפלגת באופן אחיד, $p_{i}={1 \over n}$ עבור ${1\leq i\leq n}$, נקבל כי: $\forall \alpha \geq 0;H_{\alpha }(X)=\log(n)$.

איור 2- אנטרופיית רניי עבור מספר ערכים של אינדקס האנטרופיה

תכונות

נמנה מספר תכונות חשובות עבור אנטרופיית רניי:

1. אדיטיביות
2. $H_{\alpha }(X)$ אי שלילית: $H_{\alpha }(X)\geq 0$.
3. קעירות - עבור $\alpha \leq 1$ אנטרופיית רניי קעורה. לעומת זאת, עבור $\alpha >1$ אינה קמורה או קעורה בלבד. ניתן להראות כי תכונת הקעירות נשברת עבור $\alpha >\alpha ^{\star }>1$, כאשר $\alpha ^{\star }$ תלוי ב $n$ באופן הבא: $\alpha ^{\star }\leq 1+{\ln(4) \over \ln(n-1)}$.
4. עבור $\alpha \geq \beta$ כאשר: $\alpha ,\beta \in [0,\infty )$ נקבל כי $0\leq H_{\alpha }(X)\leq H_{\beta }(X)$
5. $H_{\alpha }(X)$ פונקציה חסומה, רציפה ולא עולה ב-$\alpha$.
6. $H{z}(X)$ עם $z=\alpha +j\omega$ אנליטית בכל המישור המרוכב מלבד בציר הממשי השלילי. מכאן, סינגולריות האנטרופיה עבור $\alpha =1$ אינה מהותית, כך שכפי שציינו בגבול $\alpha \rightarrow 1$ נקבל את אנטרופיית שאנון.

ההשלכה של תכונת הקעירות הדו משמעית היא שאנטרופיית רניי אינה מתאימה להוות אנטרופיה פיזיקלית (בניגוד לאנטרופיית שאנון) כאשר מבוטאת על ידי פונקציית הסתברות $p_{i}$ רלוונטית. מתכונה $(6)$ ניתן להראות כי אם נבצע המשכה אנליטית של $\alpha$ למישור המרוכב, דהיינו $z=\alpha +j\omega$, אזי $H_{z}(X)=\sum _{i=1}^{n}p_{i}^{z}$ אנליטית למעט בציר הממשי השלילי.

אנטרופיית רניי המשותפת ${\displaystyle }$

ניתן להרחיב את הגדרת אנטרופיית רניי למקרה של משתנה מקרי דו מימדי בדיד באופן הבא: יהי $(X,Y)$ משתנה מקרי דו מימדי בדיד עם פונקציית הסתברות $p_{ij}=Pr(X=x_{i},Y=y_{j})$, כאשר ${1\leq i\leq n}$, ${1\leq j\leq m}$. אנטרופיית רניי המשותפת תהא:

$$H_{\alpha }(X,Y)\triangleq {1 \over 1-\alpha }\log {\sum _{i,j}p_{ij}^{\alpha }};\{\alpha \geq 0,\alpha \neq 1\}$$

אנטרופיית רניי המותנית

לאנטרופיית רניי המותנית היו מספר הצעות בספרות, אך רובן לא קיימו הן מונוטוניות והן את כלל השרשרת. בנוסף, הצעות אלו לא הסכימו עם אנטרופיית שאנון (המותנית) ואנטרופיית המינימום (המותנית). על כן, נציג הגדרה לאנטרופיית רניי המותנית אשר מסכימה עם האמור לעיל. יהיו $X,Y$ משתנים מקריים בדידים עם תומכים ${\mathcal {X,Y}}$ בהתאמה ופונקציית התפלגות מותנית $P_{X|Y}(x|y)$ ו- $\alpha \in (0,1)\cup (1,\infty )$. אנטרופיית רניי היחסית תהא:

$$H_{\alpha }(X|Y)\triangleq -\log \left(\sum _{y\in {\mathcal {Y}}}P_{Y}(y)\left(\sum _{x\in {\mathcal {X}}}P_{X|Y}(x|y)^{\alpha }\right)^{1 \over \alpha }\right)^{\alpha \over {\alpha -1}}$$

מספר הבחנות:

• $H_{1}(X|Y)\triangleq \lim _{\alpha \rightarrow 1}H_{\alpha }(X|Y)=H(X|Y)$. כאשר $H(X|Y)$ הינה אנטרופיית שאנון המותנית.
• $\lim _{\alpha \rightarrow \infty }H_{\alpha }(X|Y)=H_{\infty }(X|Y)$. כאשר $H_{\infty }(X|Y)$ הינה אנטרופיית המינימום המותנית.
• $H_{0}(X|Y)\triangleq \lim _{\alpha \rightarrow 0}H_{\alpha }(X|Y)=\log \left(\max _{y\in {\mathcal {Y}}}\{|\operatorname {sup} (P_{X|Y=y})|\}\right)$. כאשר $H_{0}(X|Y)$ הינה פונקציית הארטלי המותנית או אנטרופיית המקסימום המותנית.
• עבור $\alpha \geq \beta$ כאשר: $\alpha ,\beta \in (0,\infty )$ נקבל כי $0\leq H_{\alpha }(X|Y)\leq H_{\beta }(X|Y)$.
• מונוטוניות - עבור $\alpha \in (0,\infty )$ מתקיים: $H_{\alpha }(X)\geq H_{\alpha }(X|Y)$.
• כלל השרשרת (החלש) - עבור $\alpha \in (0,\infty )$ מתקיים: $H_{\alpha }(X|Y)\geq H_{\alpha }(X,Y)-H_{0}(Y)$.

אנטרופיית רניי היחסית עלולה להימצא בתחומים רבים כגון: מערכות קוונטיות, הנדסה ביו-רפואית, קריפטוגרפיה, כלכלה, סטטיסטיקה ותחומים נוספים.

דיברגנץ רניי

יהי $P,Q$ פונקציות הסתברות מעל תומך ${\mathcal {X}}$, אזי דיברגנץ רניי $D_{\alpha }$ של $P$ מ- $Q$, מסדר $\alpha$, כאשר $\alpha \in [0,1)\cup (1,\infty )$, יהא:

$$D_{\alpha }(P||Q)\triangleq {1 \over {\alpha -1}}\log \left(\sum _{z\in {\mathcal {X}}}P(x)^{\alpha }Q(x)^{1-\alpha }\right)$$

הגדרה זו ניתנת להרחבה עבור המקרה בו $\alpha =1,\infty$ על ידי לקיחת הגבולות: ${\begin{cases}D_{1}(P||Q)\triangleq \lim _{\alpha \rightarrow 1}D_{\alpha }(P||Q)\\D_{\infty }(P||Q)\triangleq \lim _{\alpha \rightarrow \infty }D_{\alpha }(P||Q)\end{cases}}$ ומתקיים: ${\begin{cases}D_{1}(P||Q)=\sum _{x\in {\mathcal {X}}}P(x)\log \left({\frac {P(x)}{Q(x)}}\right)\\D_{\infty }(P||Q)=\log \left(\operatorname {supp} _{x\in {\mathcal {X}}}\left({\frac {P(x)}{Q(x)}}\right)\right)\end{cases}}$.

במקרה של $\alpha =1$ דיברגנץ רניי $D_{\alpha }$ של $P$ מ- $Q$ הינו דיברגנץ קולבק-לייבלר של $P$ מ- $Q$.

הכללה קוונטית

לדיברגנץ רניי קיימת גם הכללה קוונטית. תחילה, עבור $\alpha \in [0,1)\cup (1,\infty )$ נחפש את הפונקציונאלים הממשיים ${\mathcal {D}}_{\alpha }(\cdot ||\cdot )$ על זוגות אופרטורים חיוביים, מבוטאים באמצעות פרמטר $\alpha$, כך שמתקיים: ${\mathcal {D}}_{\alpha }(\rho _{X},\sigma _{X})=D_{\alpha }(P||Q)$. כאשר:$\sigma _{X}$, $\rho _{X}$ הינם מצבים קלאסיים ומתקיים: $\rho _{X}=\sum _{x\in {\mathcal {X}}}P(x)|x\rangle \langle x|_{X}$ ו- $\sigma _{X}=\sum _{x\in {\mathcal {X}}}Q(x)|x\rangle \langle x|_{X}$ עם $\operatorname {supp} P\subseteq \operatorname {supp} Q$. בנוסף, נדרוש כי אי שוויון עיבוד הנתונים שיתקיים. כלומר, עבור אופרטור קוונטי $\Lambda$: ${\mathcal {D}}_{\alpha }(\rho ||\sigma )\geq {\mathcal {D}}_{\alpha }(\Lambda (\rho )||\Lambda (\sigma ))$. על כן, ההכללה הקוונטית של דיברגנץ רניי תוגדר להיות:

$$D_{\alpha }(\rho ||\sigma )\triangleq {\frac {1}{\alpha -1}}\log {\frac {\operatorname {Tr} (\rho ^{\alpha }\sigma ^{1-\alpha })}{\operatorname {Tr} \rho }}$$

כאשר: $\rho ,\sigma \in {\mathcal {P}}({\mathcal {H}})$, ו - $\rho \subseteq \operatorname {supp} \sigma$ ל- $\alpha >1$ או $\rho \not \perp \sigma$ ל- $\alpha \in [0,1)$. לביטוי זה פירושים אופרטורים ישירים כהכללה של ערכי קצה בניסויים בתאוריית הקוונטים.

יישום כלכלי

ניתן להסתכל על צמד פונקציות הסתברות כמשחק מזלות אשר בו אחת מההסתברויות מגדירה את הסיכויים הרשמיים, והשנייה את ההסתברויות עצמן. עצם ידיעת ההסתברות עצמה מאפשרת לשחקן המשתתף במשחק להרוויח, ושיעור הרווח עצמו מתקשר לדיברגץ רניי בצורה הבאה: ${\rm {ExpectedRate}}={\frac {1}{R}}\,D_{1}(b\|m)+{\frac {R-1}{R}}\,D_{1/R}(b\|m)\,$.

כאשר: $m$ מגדירה את הסיכויים הרשמיים (לענייננו - השוק), של המשחק, $b$ הינה ההתפלגות בה המשקיעים מאמינים ו- $R$ הינה שנאת סיכון של המשקיעים. אם ההתפלגות האמיתית הינה $p$ (אשר אינה בהכרח מתלכדת עם אמונת המשקיע $b$), אזי השיעור הממשי לטווח הארוך יתכנס לציפייה האמיתית שלה מבנה מתמטי זהה: ${\rm {RealizedRate}}={\frac {1}{R}}\,{\Big (}D_{1}(p\|m)-D_{1}(p\|b){\Big )}+{\frac {R-1}{R}}\,D_{1/R}(b\|m)\,$.

ראו גם

• אנטרופיית שאנון
• אנטרופיית פון ניומן
• אנטרופיית טסאליס