התפלגות

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
Nuvola apps edu mathematics blue-p.svg

בערך זה
נעשה שימוש
בסימנים מוסכמים
מתחום המתמטיקה.
להבהרת הסימנים
ראו סימון מתמטי.

בסטטיסטיקה ותורת ההסתברות, התפלגות היא מרכיב בסיסי בתיאור ההתנהגות של תופעה או תהליך שיש בהם היבטים אקראיים. מרחב ההסתברות מהווה את קבוצת כל התוצאות האפשריות של התהליך, וההתפלגות קובעת מהו הסיכוי של כל מאורע, ובכך מאפשרת להבדיל בין תהליכים אקראיים שונים המתרחשים באותו מרחב.

מבחינה טכנית, התפלגות היא פונקציית מידה המוגדרת על הקבוצות המדידות במרחב מדיד; קיומה של פונקציה כזו הופך את המרחב למרחב מידה שהוא למעשה מרחב הסתברות. במלים אחרות, ההתפלגות היא פונקציה, הקובעת את הסיכוי לכל מאורע אפשרי.

התפלגות בדידה והתפלגות רציפה[עריכת קוד מקור | עריכה]

מבחינים בין שני סוגים עיקריים של התפלגויות:

  1. התפלגות בדידה - נוסחה או טבלה, המתאימה, לכל מאורע אפשרי, מספר חיובי, שהוא ההסתברות של אותו מאורע.
  2. התפלגות רציפה - פונקציה המתאימה, לכל קטע ממשי, את ההסתברות של אותו קטע, באופן שמקיים את אקסיומות ההסתברות, וכך שההסתברות לכל נקודה היא אפס.
  • קיימת גם התפלגות שאינה בדידה ואינה רציפה (או התפלגות שהיא בחלקה רציפה ובחלקה בדידה) - פונקציה המתאימה, לכל קטע ממשי, את ההסתברות של אותו קטע, באופן שמקיים את אקסיומות ההסתברות, וכך שקיימות נקודות שהסתברותן חיובית, אולם סכום הסתברויות אלה קטן מ-1.

את הסוג השני (והשלישי) אפשר להכליל להתפלגויות המוגדרות על מרחבים רב-ממדיים. ההתפלגות מתייחסת למשתנה מקרי, העשוי לקבל ערכים בקבוצה נתונה (סופית, או מוכלת בישר הממשי). במקרה הראשון, ההתפלגות מתארת את הסיכויים לכל תופעה מן הסוג \ X=a. במקרה השני, ההתפלגות של המשתנה \ X מתארת בקטע \ [a, b] את ההסתברות \Pr [a \le X \le b], כלומר, ההסתברות לכך שהמשתנה \ X יקבל ערך בקטע \ [a,b].

פונקציית הצטברות של משתנה ממשי[עריכת קוד מקור | עריכה]

כל משתנה מקרי \ X המקבל ערכים ממשיים, מאפשר להגדיר פונקציית הצטברות (או "פונקציית התפלגות מצטברת"), לפי הנוסחה 
F_X (x) = \Pr \left[ X \le x \right]
. הפונקציה מתארת את הסיכוי למאורע \ X<x, כאשר \ x הוא מספר ממשי, ולכן היא מונוטונית עולה עם \ x. מאידך, פונקציית ההצטברות מאפשרת לחשב את הסיכוי לכך שהמשתנה ייפול בקטע נתון, וכך קשורות התכונות שלה באופן הדוק לתכונות של המשתנה המקרי.

עבור משתנה מקרי בדיד, המקבל מספר בן מנייה של ערכים, פונקציית ההצטברות היא קבועה למקוטעין. התפלגות נקראת רציפה אם פונקציית הצטברות ההסתברות שלה רציפה.

התפלגויות רציפות בהחלט הן כאלה שניתן לבטא באמצעות פונקציית צפיפות \ f, על ידי אינטגרל: \ F_X(x)=\int_{-\infty}^x f(y)\,dy (ישנן התלפגויות רציפות שאינן רציפות בהחלט, ראו פונקציה סינגולרית). הפונקציה \ f נדרשת להיות מוגדרת על הממשיים, אי-שלילית, אינטגרבילית לפי לבג, ולקיים את התנאי \ \int_{-\infty}^{\infty}f(y)\,dy=1. במקרה כזה \ F_X'(x)=f(x), ומכאן שפונקציית ההצטברות נדרשת להיות פונקציה גזירה, ולא סתם רציפה.

התומך של התפלגות היא הקבוצה הסגורה הקטנה ביותר שלמשלים שלה הסתברות אפס (מידה אפס).

רשימת התפלגויות חשובות[עריכת קוד מקור | עריכה]

לכמה התפלגויות שהן בעלות חשיבות תאורטית או מעשית רבה יש שמות:

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]

מונחים קשורים בתורת הסתברות:

מונחים קשורים בתורת המידה: