אינטגרל רימן-ליוביל

במתמטיקה, ובפרט בחשבון אינפיניטסימלי, אינטגרל רימן-ליוביל הוא אופרטור אשר מייצג פעולת אינטגרל חוזר עבור מספר פעמים שאיננו שלם (רציונלי) או מרוכב.

אינטרל רימן-ליוביל מבוסס על נוסחת האינטגרל החוזר של קושי והוא מהווה דוגמה לאינטגרל שברי בחשבון אינפיניטסימלי שברי.

האינטגרל נקרא על שמם של המתמטיקאים ברנהרד רימן וז'וזף ליוביל.

מבוא ומוטיבציה

בהינתן זוג מספרים ממשיים $c<d$ מסמנים ב-$L^{1}([c,d])$ את מרחב הפונקציות האינטגרביליות לפי לבג על הקטע $[c,d]$. עבור $a\in [c,d]$ מגדירים אופרטור $J_{a}:L^{1}([c,d])\to L^{1}([c,d])$ להיות אופרטור האינטגרציה שראשתו ב-$a$. כלומר, עבור פונקציה $f\in L^{1}([c,d])$ ו-$x\in [c,d]$:

$J_{a}f(x):=\int _{a}^{x}{f(t)dt}$

עבור $f$ כזו ומספר טבעי $n\in \mathbb {N}$, בשנת 1823 הוכיח אוגוסטן קושי שלכל $x\in [c,d]$ מתקיים השוויון הבא:

$J_{a}^{n}f(x)={\frac {1}{(n-1)!}}\int _{a}^{x}{(x-t)^{n-1}f(t)dt}$

כאשר $J_{a}^{n}f:=\underbrace {J_{a}(J_{a}(\dots J_{a}} _{n{\text{ times}}}(f)))$.

אינטגרל רימן-ליוביל מרחיב את נוסחה זו ומחליף את המספר הטבעי $n$ במספר מרוכב $\alpha$ עם חלק ממשי חיובי. מאחר שלא מדובר כעת במספר טבעי, פעולת העצרת מוחלפת בפונקציית גמא שמרחיבה אותה. הרחבה זו מאפשרת להגדיר פעולות כדוגמת "חצי אינטגרל" ($\alpha =1/2$) או "שליש אינטגרל" ($\alpha =1/3$).

הגדרת האופרטור תקפה גם אם מחליפים את תחום הפונקציה $f$ מהקטע $[c,d]$ לקטע חצי סופי או ל-$\mathbb {R}$ כולו. עם זאת, בכל המקרים הללו עדיין נדרש להגדיר $a$ כלשהו להיות ראשית האינטגרל, אך ניתן להגדירו גם להיות $\alpha =\infty$ או $\alpha =-\infty$ במקרה והתחום אינו חסום מלמעלה או מלמטה בהתאמה.

הגדרה מתמטית

בהינתן תחום ממשי קמור $U\subseteq \mathbb {R}$ (קטע סופי, חצי סופי או $\mathbb {R}$ כולו), מספר ממשי $a\in U$ (או $\pm \infty$ במקרה והתחום אינסופי כלפי מעלה או מטה) ומספר מרוכב $\alpha$ בעל חלק ממשי חיובי ($\operatorname {Re} (\alpha )>0$), אופטור רימן-ליוביל מסדר $\alpha$ הוא האופרטור $J_{a}^{\alpha }:L^{1}(U)\to L^{1}(U)$ כך שלכל פונקציה $f\in L^{1}(U)$ ולכל $x\in U$:

$J_{a}^{\alpha }f(x):={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\int _{a}^{x}{(x-t)^{\alpha -1}f(t)dt}$

תכונות

ליניאריות

באופן דומה לפעולות האינטגרל והנגזרת, אופרטור רימן-ליוביל הוא אופרטור ליניארי. כלומר, לכל $f,g\in L^{1}(U)$ ולכל $c,d\in \mathbb {R}$:

$J_{a}^{\alpha }(cf+dg)=cJ_{a}^{\alpha }f+dJ_{a}^{\alpha }g$

הפעלת נגזרת

המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי קובע כי הפעלת נגזרת על אינטגרל מחזירה את הפונקציה המקורית. כלומר:

${\frac {d}{dx}}J_{a}f(x)=f(x)$

הדבר נכון באופן שקול גם לאופרטור רימן-ליוביל:

${\frac {d}{dx}}J_{a}^{\alpha +1}f(x)=J_{a}^{\alpha }f(x)$

הרכבה

ניתן להוכיח כי אוסף האופרטורים מסוג רימן ליוביל סגורים להרכבה. כלומר, עבור זוג מספרים מרוכבים $\alpha ,\beta$ עם חלק ממשי חיובי מתקיים:

$J_{a}^{\alpha }(J_{a}^{\beta }f)=J_{a}^{\alpha +\beta }f$

בכך מהווים אופרטורי רימן-ליוביל חבורה למחצה.

חסימות, רציפות, והרחבה לסדר אפס

מסמנים ב-$L^{p}(U)$ מסמל את מרחב Lp בתחום זה עבור $p>1$ ותחום ממשי $U$ כלשהו. עבור כל $\alpha \in \mathbb {C}$ מספר מרוכב עם חלק ממשי חיובי, ניתן להוכיח כי האופרטור $J_{a}^{\alpha }$ הפועל על $L^{p}(U)$ הוא אופרטור חסום ועל כן רציף.

יתרה מכך, ניתן להוכיח כי לכל $f\in L^{p}(U)$, מתקיים:

$\lim _{\alpha \to 0^{+}}{\lVert J_{a}^{\alpha }f-f\rVert _{p}}=0$

כלומר, סדרת הפונקציות $J_{a}^{\alpha }f$ שואפת ל-$f$ כאשר $\alpha \to 0$ כמעט בכל מקום. מסיבה זו טבעי להגדיר $J_{a}^{0}=I$ כאשר $I$ הוא אופרטור הזהות.

דוגמאות

חזקה

עבור הפונקציה $f(x)=x^{\beta }$ המוגדרת לכל המספרים הממשיים ניתן לחשב את איטנגרל רימן-ליוביל מסדר $\alpha >0$ כלשהו:

$J_{0}^{\alpha }f(x)={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\int _{0}^{x}{(x-t)^{\alpha -1}t^{\beta }dt}$

על ידי החלפת משתנים $u=xt$ מתקבל:

${\begin{aligned}J_{0}^{\alpha }f(x)={\frac {x^{\alpha +\beta }}{\Gamma (\alpha )}}\int _{0}^{1}{(1-u)^{\alpha -1}u^{\beta }du}\\={\frac {x^{\alpha +\beta }}{\Gamma (\alpha )}}B(\alpha ,\beta +1)\\={\frac {x^{\alpha +\beta }}{\Gamma (\alpha )}}{\frac {\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta +1)}{\Gamma (\alpha +\beta +1)}}\\={\frac {\Gamma (\beta +1)}{\Gamma (\alpha +\beta +1)}}x^{\alpha +\beta }\\\end{aligned}}$

כאשר הפונקציה $B$ היא פונקציית בטא. תוצאה זו מתלכדת עם תוצאת האינטגרל השלם, כצפוי.

אקספוננט

עבור הפונקציה $f(x)=\exp(x)$ המוגדרת לכל המספרים הממשיים ניתן לחשב את איטנגרל רימן-ליוביל מסדר $\alpha >0$ כלשהו:

$J_{-\infty }^{\alpha }f(x)={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\int _{-\infty }^{x}{(x-t)^{\alpha -1}\exp(t)dt}$

על ידי החלפת משתנים $u=x-t$ מתקבל:

${\begin{aligned}J_{-\infty }^{\alpha }f(x)={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\int _{0}^{\infty }{u^{\alpha -1}\exp(x-u)du}\\={\frac {\exp(x)}{\Gamma (\alpha )}}\int _{0}^{\infty }{u^{\alpha -1}\exp(-u)du}\\={\frac {\exp(x)}{\Gamma (\alpha )}}\Gamma (\alpha )\\=\exp(x)\end{aligned}}$

זאת באופן דומה לכך ש-${\frac {d}{dx}}\exp(x)=\exp(x)$.

נגזרת רימן-ליוביל

על אף שהפעולה ההפוכה לאינטגרל היא הנגזרת, ועל אף ש-$J_{a}^{1}$ ($\alpha =1$) הוא אופרטור האינטגרציה, לא ניתן להציב $\alpha =-1$ באינטגרל רימן-ליוביל ולקבל את פעולת הנגזרת (למעשה, הצבה מסוג זו תוביל להתבדרות האינטגרל). באופן כללי, לא ניתן להציב באינטגרל רימן-ליוביל ערכים עם ערך ממשי שלילי (ובפרט מספרים שליליים).

עם זאת, ניתן להרחיב את הגדרת אינטגרל רימן-ליוביל כדי שתכלול גם נגזרות. עבור מספר ממשי $\alpha >0$ ניתן להגדיר את $D_{a}^{\alpha }$ להיות נגזרת רימן-ליוביל מסדר $\alpha$ כך שלכל פונקציה $f$ אינטגרבילית לפי לבג ולכל $x$ בתחום שלה:

$D_{a}^{\alpha }f(x):={\frac {d^{\lceil \alpha \rceil }}{dx^{\lceil \alpha \rceil }}}J_{a}^{\lceil \alpha \rceil -\alpha }f(x)$

זאת כאשר $\lceil \cdot \rceil$ היא פונקציית התקרה. כלומר, מבצעים את אינטגרל רימן-ליוביל מסדר כלשהו בין 0 ל-1 המשלים את $\alpha$ למספר שלם, ולאחר מכן גוזרים מספר פעמים. עבור $\alpha$ טבעי, הגדרה זו מתלכדת עם הגדרת הנגזרת הסטנדרטית.

באופן כללי, ניתן להרחיב את נגזרת רימן-ליוביל עבור כל $\alpha$ ממשי:

$D_{a}^{\alpha }f(x):={\begin{cases}{\frac {d^{\lceil \alpha \rceil }}{dx^{\lceil \alpha \rceil }}}J_{a}^{\lceil \alpha \rceil -\alpha }f(x)&{\text{if }}\alpha >0\\f(x)&{\text{if }}\alpha =0\\J_{a}^{-\alpha }f(x)&{\text{if }}\alpha <0\\\end{cases}}$

באופן דומה לאינטגרל רימן-ליוביל, גם נגזרת רימן-ליוביל מקיימת ליניאריות, הרכבה, רציפות ואת המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי.

נגזרת רימן-ליוביל היא נגזרת שברית, כלומר פעולת נגזרת-אינטגרל אשר מקבלת את כל הערכים הממשיים.

קישורים חיצוניים

• אינטגרל רימן-ליוביל, באתר MathWorld (באנגלית)