מרחב Lp

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש


Incomplete-document-purple.svg יש להשלים ערך זה: ערך זה עשוי להיראות מלא ומפורט, אך עדיין חסר בו תוכן מהותי. ייתכן שתמצאו פירוט בדף השיחה.
הנכם מוזמנים להשלים את החלקים החסרים ולהסיר הודעה זו. שקלו ליצור כותרות לפרקים הדורשים השלמה, ולהעביר את התבנית אליהם.

באנליזה מתמטית, מרחבי Lp הם מרחבי פונקציות המוגדרים באמצעות הכללות טבעיות של נורמות-p של מרחבים וקטוריים סוף-ממדיים. לעתים הם קרויים מרחבי לבג, על שמו של אנרי לבג. הם מהווים מחלקה חשובה של דוגמאות למרחבי בנך באנליזה פונקציונלית ולמרחבים וקטוריים טופולוגיים. יש להם שימושים בפיזיקה, סטטיסטיקה, כלכלה, הנדסה ובתחומים אחרים.

מוטיבציה[עריכת קוד מקור | עריכה]

נתבונן במרחב הווקטורי הממשי \mathbb{R}^n. סכומם של שני וקטורים ב-\mathbb{R}^n ניתן על ידי

(x_1, x_2, \dots, x_n) + (y_1, y_2, \dots, y_n) = (x_1+y_1, x_2+y_2, \dots, x_n+y_n).

והכפל בסקלר מוגדר לפי

\lambda(x_1, x_2, \dots, x_n)=(\lambda x_1, \lambda x_2, \dots, \lambda x_n).

האורך של וקטור x=\left(x_{1},x_{2},\dots,x_{n}\right) ניתן לרוב על ידי הנורמה האוקלידית:

\|x\|_2=\left(x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2\right)^{1/2},

אך זוהי בהחלט לא הדרך היחידה להגדיר אורך ב-\mathbb{R}^n. אם p \ge 1 הוא מספר ממשי, נגדיר את נורמת L^p של וקטור x להיות

\|x\|_p=\left(|x_1|^p+|x_2|^p+\cdots+|x_n|^p\right)^{1/p}

(ולכן נורמת L^2 היא הנורמה האוקלידית המוכרת, בעוד שהמרחק בנורמת L^1 ידוע בתור מטריקת מנהטן).

ניתן להכליל זאת ל-p = \infty על ידי

\|x\|_\infty=\max \left\{|x_1|, |x_2|, \ldots, |x_n|\right\}

למעשה מתקיים \left\Vert x\right\Vert _{\infty}=\lim_{p\to\infty}\left\Vert x\right\Vert _{p} ולכן מקובל סימון זה. נורמה זו ידועה בשמות נורמת הסופרמום, נורמת המקסימום או נורמת התכנסות במידה שווה.

מסתבר שלכל p \ge 1 ההגדרות לעיל מקיימות את התכונות של "פונקציית אורך" (קרי נורמה), כלומר:

  • אורכו של כל וקטור הוא אי-שלילי ורק וקטור האפס הוא בעל אורך אפס,
  • האורך של וקטור הוא הומוגני חיובית ביחס לכפל בסקלר, ו-
  • האורך של סכום שני וקטורים אינו גדול מסכום האורכים של שני הווקטורים (אי-שוויון המשולש).

יתרה מזאת, לכל p \ge 1,\mathbb{R}^n יחד עם נורמת L^p (או פשוט נורמת-p) מהווה מרחב בנך. מרחב זה מסומן לעתים על ידי \ell_{n}^{p}.

לעתים מגדירים את \ell_{n}^{p} להיות המרחב הווקטורי \mathbb{C}^{n} מעל שדה המספרים המרוכבים. החיבור והכפל בסקלר מוגדרים באותו האופן וכך גם נורמת-p של וקטור, כאשר במקרה זה \left|\cdot\right| מסמן את הערך המוחלט של מספר מרוכב. במקרה זה עדיין מקבלים מרחב בנך.

עבור 0 < p < 1[עריכת קוד מקור | עריכה]

ב-\mathbb{R}^n כאשר n>1, הנוסחה

\|x\|_p=\left(|x_1|^p+|x_2|^p+\cdots+|x_n|^p\right)^{1/p}

מגדירה מספר ממשי אי-שלילי אם 0 < p < 1, אבל ההעתקה המתקבלת x\mapsto\left\Vert x\right\Vert _{p} איננה נורמה, מכיוון שהיא לא מקיימת את אי-שוויון המשולש. למרות זאת, הפונקציה

d_{p}\left(x,y\right)=\left\Vert x-y\right\Vert _{p}^{p}=\sum_{i=1}^{n}\left|x_{i}-y_{i}\right|^{p}

היא מטריקה. בדומה למקרה p \ge 1, נהוג לסמן את המרחב המטרי \left(\mathbb{R}^{n},d_{p}\right) ב-\ell_{n}^{p} וגם אותו ניתן להגדיר בדומה מעל המרוכבים.

אף על פי שכדור היחידה במטריקה d_p, המסומן B_n^p, הוא "קעור" (קרי, לא קמור), הטופולוגיה המושרית על \mathbb{R}^n על ידה היא הטופולוגיה הסטנדרטית על \mathbb{R}^n ולכן \ell_{n}^{p} הוא מרחב וקטורי טופולוגי קמור מקומית. מעבר לטענה איכותית זו, דרך כמותית למדוד את חוסר הקמירות של \ell_{n}^{p} היא להתבונן ב-C_{p}\left(n\right), הקבוע הקטן ביותר C שעבורו הניפוח C\cdot B_{n}^{p} של כדור היחידה בנורמת-p מכיל את הקמור של B_n^p (שהוא למעשה B_n^1 לכל 0<p<1). מסתבר שמתקיים C_{p}\left(n\right)=n^{-1+1/p} לכל n טבעי. העובדה שערך זה שואף לאינסוף כאשר n \to \infty (עבור 0<p<1 קבוע) משקפת את העובדה שמרחב הסדרות האינסוף-ממדי \ell^{p} (המוגדר למטה) הוא כבר לא קמור מקומית.

עבור p = 0[עריכת קוד מקור | עריכה]

במתמטיקה בדידה, נורמת-p מוגדרת גם עבור p=0 לפי

\left\Vert x\right\Vert _{0}=\lim_{p\searrow0}\left(\left|x_{1}\right|^{p}+\left|x_{2}\right|^{p}+\cdots+\left|x_{n}\right|^{p}\right)

שהוא פשוט מספר הרכיבים השונים מאפס בוקטור x. אם נגדיר 0^0 = 0, אז נורמת האפס של x שווה ל-\left|x_{1}\right|^{0}+\cdots+\left|x_{n}\right|^{0}. זוהי אינה נורמה במובן הרגיל של המילה, אך היא יכולה לשמש למדידת דלילות, למשל בתחום של Compressed sensing.