המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי (נקרא גם המשפט היסודי של החשבון האינפיניטסימלי) קושר בין שני מושגי היסוד של החשבון האינפיניטסימלי, הנגזרת והאינטגרל, ומראה שגזירה ואינטגרציה הן פעולות הופכיות זו לזו: אם פונקציה רציפה עוברת אינטגרציה ואחר כך גוזרים את התוצאה, חוזרים לפונקציה המקורית. פרט לקשר זה, המשפט גם מספק שיטה מעשית לחישוב האינטגרל המסוים, שהוא מושג שמוגדר בצורה שאינה מאפשרת חישוב פשוט, באמצעות האינטגרל הלא מסוים, שלחישובו יש דרכים רבות (ולרוב פשוטות) יותר.

המשפט היסודי של החשבון האינפיניטסימלי קובע שאינטגרל מסוים בין שתי נקודות שווה להפרש הערכים של האינטגרל הלא המסוים שלה בנקודות אלו. לכאורה שני מושגים אלה שונים זה מזה ובאים מעולמות שאין להם שום קשר אבל המשפט היסודי של החשבון האינפיניטסימלי (שנקרא גם משפט ניוטון-לייבניץ) קובע את הקשר העמוק בין שני התחומים.

תוכן עניינים

1 ניסוח פורמלי
- 1.1 משפט
- 1.2 משפט (נוסחת ניוטון-לייבניץ)
2 הוכחה

[עריכה] ניסוח פורמלי

המשפט היסודי של החשבון האינטגרלי מורכב בעצם משני משפטים:

[עריכה] משפט

תהי $\ f$ פונקציה אינטגרבילית בקטע $\ [a,b]$ ותהי $\ F(x) = \int_{a}^{x}{f(t)dt}$ אינטגרל בלתי מסוים שלה. אזי:

הפונקציה $\ F$ רציפה.
בכל נקודה $\ x_0$ בה $\ f$ רציפה, $\ F$ גזירה ומתקיים: $\ F'(x_0) = f(x_0)$ .
אם $\ f$ רציפה בכל הקטע, אזי קיימת לה פונקציה קדומה בקטע, יתרה מזאת: הפונקציה $F(x)=\int_a^x f(t)dt$ היא פונקציה קדומה שמקיימת $\ F' = f$ בכל הקטע.

[עריכה] משפט (נוסחת ניוטון-לייבניץ)

תהי $\ f$ פונקציה אינטגרבילית שיש לה פונקציה קדומה $\ F$ בקטע $\ [a,b]$ . אם נסמן $\frac{d}{dx}F(x) = f(x)$ אזי

$\ \int_a^b{ f(x) \ dx} = F(b) - F(a)$

נשים לב שאין חשיבות לשאלה איזו פונקציה קדומה של $\ f$ לוקחים, מכיוון שכל הפונקציות הקדומות של $\ f$ נבדלות זו מזו בקבוע, והוא מצטמצם כאשר מחשבים את ההפרש בין ערכי הפונקציה הקדומה בשתי נקודות שונות.

הנוסחה היסודית של החשבון האינפיניטסימלי מאפשרת לחשב אינטגרלים מסוימים של פונקציות מסוג מסוים.

בתורת המידה מוכללת נוסחה זו למשפחה רחבה יותר של פונקציות, הפונקציות הרציפות בהחלט. ניתן להראות גם שזו משפחת הפונקציות הרחבה ביותר עבורה מתקיימת נוסחה זו.

[עריכה] הוכחה

[עריכה] הפונקציה F רציפה

יהי $0 < \varepsilon$ ויהיו $\ x,y\in [a,b]$ , אזי:

$\ | F(x) - F(y) | = \left| \int_{a}^{x}{f(t)dt} - \int_{a}^{y}{f(t)dt} \right|$

מאדיטיביות האינטגרל נוכל לרשום ש

$\ \int_{a}^{x}{f(t)dt} - \int_{a}^{y}{f(t)dt} = \int_{y}^{x}{f(t)dt}$

ולכן, בהינתן $M$ כך ש- $|f(x)|\leq M$ , (הפונקציה חסומה על-פי ההנחה) יתקיים:

$\ | F(x) - F(y) | = \left| \int_{y}^{x}{f(t)dt} \right| \le \int_{y}^{x}{|f(t)|dt} \leq M | x-y |$

עכשיו למעשה $F$ רציפה לפשיץ ב- $[a, b]$ אז היא רציפה במידה שווה ובפרט רציפה בקטע.

ניתן גם להמשיך כך: נבחר $\ \delta < \frac{\varepsilon}{M}$ , ואז לכל $\ x,y$ בקטע המקיימים $\ |x-y|<\delta$ , מתקיים $\ | F(x) - F(y) | < \varepsilon$ , וסיימנו.

[עריכה] הפונקציה f היא נגזרת של F בנקודות הרציפות שלה

תהא $\ x_0$ נקודת רציפות של $\ f$ . אנו רוצים להראות כי $\ F'(x_0)=f(x_0)$ כאשר $\ F=\int_a^x f(t)dt$ .

בסימון פורמלי יותר: אנו רוצים להראות כי $\ \lim_{h\rarr 0}\frac{F(x_0+h)-F(x_0)}{h}=f(x_0)$ .

על פי ההגדרה ואדיטיביות האינטגרל המסוים, אנו יודעים שמתקיים: $\ \frac{F(x_0+h)-F(x_0)}{h}=\frac{1}{h}\left(\int_a^{x_0+h} f(t)dt-\int_a^{x_0} f(t)dt\right)=\frac{1}{h}\int_{x_0}^{x_0+h}f(t)dt$ .

כמו כן מתקיים $\ f(x_0)=\frac{1}{h}\int_{x_0}^{x_0+h}f(x_0)dt$ , שכן $\ f(x_0)$ היא קבוע, ולכן האינטגרל שלה על הקטע $\ [x_0,x_0+h]$ הוא פשוט אורך הקטע כפול $\ f(x_0)$ .

לכן מתקיים, על פי אי שוויון המשולש האינטגרלי: $\ \left|\frac{F(x_0+h)-F(x_0)}{h}-f(x_0)\right|=\left|\frac{1}{h}\int_{x_0}^{x_0+h} \left( f(t)-f(x_0) \right)dt\right|\le\frac{1}{|h|}\left|\int_{x_0}^{x_0+h}\left|f(t)-f(x_0)\right|dt\right|$ .

נזכור כי $\ f(x)$ רציפה בנקודה $\ x_0$ , ולכן עבור $\ \varepsilon>0$ כלשהו קיים $\ \delta>0$ כך ש- $\ |t-x_0|<\delta$ גורר $\ |f(t)-f(x_0)|<\varepsilon$ .

אם $\ 0<|h|<\delta$ אז לכל $\ t\isin [x_0,x_0+h]$ מתקיים $\ |t-x_0|<\delta$ . לכן:

$\ \frac{1}{|h|}\left|\int_{x_0}^{x_0+h}\left|f(t)-f(x_0)\right|dt\right|\le\frac{1}{|h|}\left|\int_{x_0}^{x_0+h}\varepsilon dt\right|=\frac{1}{|h|}\varepsilon \cdot |h|=\varepsilon$ .

כלומר, הראינו כי לכל $\ \varepsilon>0$ ניתן למצוא $\ \delta>0$ כך שלכל $\ |h|<\delta$ יתקיים $\ \left|\frac{F(x_0+h)-F(x_0)}{h}-f(x_0)\right|<\varepsilon$ , כלומר $\ \lim_{h\rarr 0}\frac{F(x_0+h)-F(x_0)}{h}=f(x_0)$ , כמבוקש.

מ.ש.ל.

[עריכה] קיום פונקציה קדומה בקטע ונוסחת ניוטון-לייבניץ

אם $\ f$ רציפה בכל הקטע $\ [a,b]$ אז היא בפרט אינטגרבילית בו (רציפות גוררת אינטגרביליות) ואז כפי שראינו קודם, הפונקציה $\ F(x)=\int_a^x f(t)dt$ מקיימת לכל נקודה שבה $\ f$ רציפה (במקרה זה, כל הקטע) $\ F'(x)=f(x)$ . לכן $\ F(x)$ היא פונקציה קדומה של $\ f(x)$ בקטע.

על פי הגדרה: $\ F(b)-F(a)=\int_a^b f(t)dt-\int_a^a f(t)dt=\int_a^b f(t)dt$ .

כעת, כל שתי פונקציות קדומות של $\ f(x)$ נבדלות ביניהן בקבוע. כי נניח ש- $\ F(x),G(x)$ שתיהן פונקציות קדומות של $\ f(x)$ , אז $\ \left(F(x)-G(x)\right)'=f(x)-f(x)=0$ , כלומר הפונקציה $\ F(x)-G(x)$ היא קבוע, כלומר $\ F(x)=G(x)+c$ .

על כן: $\ G(b)-G(a)=F(b)-c-\left(F(a)-c\right)=F(b)-F(a)$ , וזאת לכל פונקציה קדומה $\ G(x)$ של $\ f(x)$ .

בזאת הושלמה הוכחת הנוסחה היסודית.

מ.ש.ל.

[עריכה] הוכחה לנוסחת ניוטון-לייבניץ שאינה מתבססת על המשפט היסודי

תהי $P=a \leq t_{0} < \cdots < t_{n} \leq b$ חלוקה כלשהי של $[a, b]$ . אז לפי לגראנז' מתקיים:

$\exists x_{i}\in[t_{i-i},t_{i}]:F(t_{i})-F(t_{i-1})=F'(x_{i})(t_{i}-t_{i-1})=f(x_{i})(t_{i}-t_{i-1})$

עבור $i = 1,..., n$ ; כעת נגדיר

$M_{i}=\underset{x\in[t_{i-i},t_{i}]}{\sup}f(x);\quad m_{i}=\underset{x\in[t_{i-i},t_{i}]}{\inf}f(x)$

ונקבל

$M_{i}(t_{i}-t_{i-1})\leq f(x_{i})(t_{i}-t_{i-1})\leq m_{i}(t_{i}-t_{i-1})$

כלומר

$M_{i}(t_{i}-t_{i-1})\leq F(t_{i})-F(t_{i-1})\leq m_{i}(t_{i}-t_{i-1})$

נסכום את המשוואה האחרונה עבור $i = 1,..., n$ ונקבל:

$s(P)=\sum M_{i}(t_{i}-t_{i-1})\leq\sum F(t_{i})-F(t_{i-1})\leq\sum m_{i}(t_{i}-t_{i-1})=S(P)$

נשים לב ש-

$\overset{n}{\sum}F(t_{i})-F(t_{i-1})=F(b)-F(a)$

(שהרי זהו סכום טלסקופי) ונקבל:

$s(P)\leq F(b)-F(a)\leq S(P)$

עבור כל חלוקה $P$ . אם כך מהגדרת האינטגרל התוצאה המיוחלת נובעת ישירות

$\square\qquad\qquad\qquad F(b)-F(a)=\int_{a}^{b}f$

חשבון אינפיניטסימלי
מושגי יסוד	חשבון אינפיניטסימלי - סדרה - גבול - סדרת קושי - טור - אינפיניטסימל - שדה המספרים הממשיים - ערך מוחלט - אי-שוויון המשולש - אי-שוויון קושי-שוורץ
פונקציות	פונקציה - גרף פונקציה - פונקציה לינארית - פונקציה מונוטונית - נקודת קיצון - נקודת אוכף - פונקציה קעורה - פונקציה קמורה - פונקציה רציפה - רציפות במידה שווה - נקודת אי רציפות - נגזרת - טור טיילור - סדרת פונקציות - התכנסות במידה שווה
משפטים	משפט בולצאנו-ויירשטראס - משפטי ויירשטראס - משפט קנטור - משפט ערך הביניים - משפט פרמה - משפט רול - משפט הערך הממוצע של לגראנז' - משפט הערך הממוצע של קושי - משפט דארבו - כלל השרשרת - כלל הסנדוויץ' - כלל לופיטל - משפט שטולץ - אריתמטיקה של גבולות
האינטגרל	אינטגרל - אינטגרל לא אמיתי - אינטגרל כפול - המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי - אינטגרציה בחלקים - שיטות אינטגרציה
אנליזה מתקדמת	פונקציה מרוכבת - אנליזה וקטורית - שיטת ניוטון-רפסון - משוואה דיפרנציאלית - טופולוגיה - תורת המידה
אנליזה מתמטית - אנליזה וקטורית - טופולוגיה - אנליזה מרוכבת - אנליזה פונקציונלית - תורת המידה

המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

תוכן עניינים

[עריכה] ניסוח פורמלי

[עריכה] משפט

[עריכה] משפט (נוסחת ניוטון-לייבניץ)

[עריכה] הוכחה

[עריכה] הפונקציה F רציפה

[עריכה] הפונקציה f היא נגזרת של F בנקודות הרציפות שלה

[עריכה] קיום פונקציה קדומה בקטע ונוסחת ניוטון-לייבניץ

[עריכה] הוכחה לנוסחת ניוטון-לייבניץ שאינה מתבססת על המשפט היסודי

צפיות

כלים אישיים

חיפוש

ניווט

קהילה

תיבת כלים

שפות אחרות