מערכת האקסיומות של הילברט

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

מערכת האקסיומות של הילברט היא מערכת בת 20 אקסיומות שהציע דויד הילברט ב-1899, כבסיס תאורטי לגאומטריה האוקלידית.

האקסיומות, המחליפות את חמש האקסיומות וחמש ההנחות שקבע אוקלידס ב"יסודות", פטורות מאי-הדיוקים שנמצאו בהן. הילברט החיה את המסורת שקבע אוקלידס, ופתח מאה שבה נארגו לתוך יסודות המתמטיקה מערכות פורמליות של אקסיומות כמעט בכל תחום. עם זאת, המערכת של הילברט אינה נטולת חסרונות, וזו של טרסקי עדיפה עליה, בהיותה מנוסחת במסגרת שפה מסדר ראשון.

עבודתו של הילברט מבוססת על עבודתם של אחרים שתרמו לביסוס האקסיומטי של הגאומטריה, ובראשם מוריץ פש, מריו פיירי, אוסוולד ובלן, אדוארד ורמיל האנטינגטון, גילברט רובינסון והנרי ג'ורג' פורדר.

מערכת האקסיומות[עריכת קוד מקור | עריכה]

האובייקטים היסודיים[עריכת קוד מקור | עריכה]

האקסיומות מתייחסות לשלושה סוגי אובייקטים, שאינם מוגדרים:

  • "נקודה" - אובייקט שאפשר לראות בו נקודה גאומטרית,
  • "ישר" - אובייקט שאפשר לראות בו קו ישר,
  • "מישור" - אובייקט שאפשר לראות בו מישור גאומטרי;

וכן לשלושה יחסים שאינם מוגדרים:

  • היות-בֵּין (יחס טרנרי בין שלשות של נקודות),
  • שייכות (שלושה יחסים בינאריים, שאחד מהם קושר נקודות וישרים, השני - ישרים ומישורים, והשלישי - נקודות ומישורים),
  • חפיפה (שלושה יחסים בינאריים, שאחד מהם קושר קטעים, השני - זוויות, והשלישי - משולשים).

לעניין יחס החפיפה, "קטע" מוגדר כאוסף של הנקודות על קו ישר L, הנמצאות בין זוג נקודות a,b שעל הישר; "זווית" היא שלשה סדורה של נקודות; ו"משולש" הוא שלשה סדורה של נקודות.

רשימת האקסיומות[עריכת קוד מקור | עריכה]

לשם נוחות הקריאה, נעשה שימוש במושגים נרדפים ל"הנקודה a שייכת לישר L", כגון "הישר L עובר דרך הנקודה a" או "הישר L מכיל את הנקודה a"; וכן לגבי ישרים ומישורים, ונקודות ומישורים.

I. שייכות[עריכת קוד מקור | עריכה]

I.1. לכל שתי נקודות, קיים ישר העובר דרך שתיהן.

I.2. לכל שתי נקודות שונות, יש לכל היותר ישר אחד העובר דרך שתיהן.

I.3. כל ישר מכיל לפחות שתי נקודות, ולכל ישר יש נקודה מחוץ לו.

I.4. לכל שלוש נקודות שאינן על ישר אחד, יש מישור העובר דרך כולן. כל מישור כולל נקודה אחת לפחות.

I.5. לכל שלוש נקודות שאינן על ישר אחד, יש רק מישור אחד העובר דרך כולן.

I.6. אם שתי נקודות a ו- b שייכות לישר L ולמישור A, אז A כולל כל נקודה של L.

I.7. אם המישורים A ו- B כוללים נקודה a, אז הם כוללים לפחות עוד נקודה אחת.

I.8. יש לפחות ארבע נקודות שאינן שייכות לאותו מישור.

II. סדר[עריכת קוד מקור | עריכה]

II.1. אם הנקודה b נמצאת בין הנקודות a ו- c, אז היא נמצאת גם בין הנקודות c ו- a, ושלוש הנקודות מונחות על אותו ישר.

II.2. לכל שתי נקודות שונות a ו- c, קיימת נקודה b הנמצאת בין a ו- c.

II.3. לכל שלוש נקודות על אותו ישר, בדיוק אחת מהן נמצאת בין שתי האחרות.

II.4 (אקסיומת פש). לכל שלוש נקודות a,b,c שאינן על ישר אחד, ולכל ישר L המוכל במישור הכולל אותן ושאינו עובר דרך אף אחת מן הנקודות, מתקיים כי: אם L מכיל נקודה של הקטע ab, אז L מכיל גם נקודה של הקטע ac או של הקטע bc.

III. חפיפה[עריכת קוד מקור | עריכה]

III.1. לכל שתי נקודות a ו- b, ונקודה c על ישר L, יש בדיוק שתי נקודות, d ו- e, על L, כך ש- c בין d ו- e, והקטעים ab, cd ו- ce חופפים זה לזה (הקצאת קטע על ישר).

III.2. אם ab חופף ל- cd ול- ef, אז cd חופף ל- ef (טרנזיטיביות של חפיפת קטעים).

III.3. נניח שהקטעים ab ו- bc מונחים על הישר L באופן שהנקודה המשותפת היחידה להם היא b; וכן שהקטעים de ו- ef מונחים על הישר M באופן שהנקודה המשותפת היחידה להם היא d. אם ab חופף ל- de ו- bc חופף ל- ef, אז ac חופף ל- df (אדיטיביות).

III.4. לכל זווית abc וקרן de, קיימות בדיוק שתי קרניים dx ו- dy, כך שהזוויות xde ו- yde חופפות ל- abc (הקצאת זווית על קרן).

III.5. אם הקטעים ab ו- xy חופפים, הקטעים ac ו- xz חופפים, והזוויות bac ו- yxz חופפות, אז המשולשים abc ו- xyz חופפים (חפיפת משולשים לפי צלע-זווית-צלע).

IV. הקבלה[עריכת קוד מקור | עריכה]

IV.1 (אקסיומת המקבילים). לכל ישר L ונקודה a שמחוץ לו, ומישור המכיל את a ואת L, קיים לכל היותר ישר אחד במישור המכיל את a ואינו מכיל אף נקודה של L.

V. רציפות[עריכת קוד מקור | עריכה]

V.1 (תכונת ארכימדס). לכל קטע cd וקרן ab, קיים מספר טבעי n ונקודות \ a_1,\dots,a_n שעל הקרן, כך שהקטעים \ a_j a_{j+1} כולם חופפים ל- cd, וכך ש- b נמצאת בין a ו- \ a_n.

V.2 ("שלמות הישרים"). כל הוספה של נקודות לישר, מפירה לפחות אחת מן האקסיומות I, II, III.1-2 ו- V.1.

תחולה והערות[עריכת קוד מקור | עריכה]

מערכת האקסיומות שהוצגה לעיל מתארת את גאומטריית המרחב, דהיינו, הגאומטריה של המרחב האוקלידי התלת-ממדי. אם מסירים את חמש האקסיומות I.4-8 העוסקות במישורים שונים, ומסירים את האזכור למישור מאקסיומה IV.1, מתקבל תיאור אקסיומטי של גאומטריית המישור האוקלידית.

במקור, הילברט כלל אקסיומה נוספת - "לכל ארבע נקודות על ישר, ניתן לבחור את השמות a,b,c,d כך ש-b בין a ו-c, וגם בין a ו-d; וכן c בין a ו-d ובין b ו-d"; אלא ש- E.H.Moore הראה (ב-1902) שניתן להסיק אקסיומה זו כמשפט משאר המערכת.

האקסיומות של הילברט אינן מהוות תורה מסדר ראשון, משום שהאקסיומות בקבוצה V לא ניתנות לתיאור במסגרת של שפה מסדר ראשון. משום כך, חשיבותה העיקרית של המערכת היא מתודולוגית, בתרומתה לתוכנית הילברט לבסס את כל המתמטיקה על תורת הקבוצות.

גאומטריה המניחה את כל האקסיומות של הילברט למעט אקסיומת המקבילים נקראת גאומטריה אבסולוטית.

גאומטריה המניחה את אקסיומות השייכות והסדר נקראת גאומטריית הסדר.

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]