בעיית בזל

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

בעיית בזל היא בעיה מפורסמת באנליזה מתמטית, שהוצגה לראשונה בשנת 1644, ונפתרה על ידי לאונרד אוילר בשנת 1735. כיוון שהבעיה נשארה לא פתורה לנוכח ניסיונות מתמשכים של המתמטיקאים המובילים באותה תקופה, פרסום פתרונו של אוילר, כאשר היה בן 28, הביא לו תהילה מיידית. אוילר הכליל את הבעיה באמצעות פונקציית זטא ופתר את הבעיה הכללית, ורעיונותיו שימשו השראה לברנרד רימן, אשר בעבודתו משנת 1859 השתמש בפונקציה בהקשר למשפט המספרים הראשוניים. הבעיה נקראת על שם בזל, עירו של אוילר כמו גם של בני משפחת ברנולי, שלא הצליחו לפתור את הבעיה.

בעיית בזל היא מציאת סכום הטור האינסופי של הערכים ההופכיים של ריבועי מספרים הטבעיים. כלומר הסכום: {\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = 1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\cdots}

סכום טור זה שווה בקירוב ל- 1.644934. בעיית בזל דורשת את הערך המדויק של סכום הטור. אוילר הוכיח שהסכום המדויק הוא \,\frac{\pi^2}{6} ופרסם את התגלית הזו בשנת 1735. ההוכחה שלו התבססה על שיטות שלא נראו עד אז.

פתרונו של אוילר[עריכת קוד מקור | עריכה]

פתרונו של אוילר לבעיה נחשב מקורי ומבריק. הוא תקף את הבעיה מנקודת מבט שונה לגמרי ממה שנראה עד אז. טיעונו של אוילר הוא כזה: נפתח את טור טיילור של הפונקציה \ \sin x ונקבל:

\,\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} +\dots

נחלק ב-x ונקבל:

\,\frac{\sin x}{x} = 1-\frac{x^2}{3!}+\frac{x^4}{5!} -\frac{x^6}{7!} + \dots

כעת, פונקציה זו מתאפסת בנקודות מהצורה \,n\cdot \pi כאשר \, n = \pm1 \pm2 \pm3 \dots. נניח, לפיכך, כי ניתן, בדומה לפולינומים להביע את \,\sin x / x כמכפלת האפסים שלה:


\frac{\sin(x)}{x} =
\left(1 - \frac{x}{\pi}\right)\left(1 + \frac{x}{\pi}\right)\left(1 - \frac{x}{2\pi}\right)\left(1 + \frac{x}{2\pi}\right)\left(1 - \frac{x}{3\pi}\right)\left(1 + \frac{x}{3\pi}\right) \cdots

= \left(1 - \frac{x^2}{\pi^2}\right)\left(1 - \frac{x^2}{4\pi^2}\right)\left(1 - \frac{x^2}{9\pi^2}\right) \cdots.

כעת, אם נכפול בצורה פורמלית ביטוי זה, ונאסוף את המקדמים של \,x^2, נקבל כי המקדם של \,x^2 ב-\,\sin x / x הוא


-\left(\frac{1}{\pi^2} + \frac{1}{4\pi^2} + \frac{1}{9\pi^2} + \cdots \right) =
-\frac{1}{\pi^2}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}.

אך מטור טיילור של \,\sin x / x, אנו יודעים כי המקדם של \,x^2 הוא \,-1/3! = -1/6. אך שני מקדמים אלו חייבים להיות שווים זה לזה, ולפיכך


-\frac{1}{6} =
-\frac{1}{\pi^2}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}.

ועל ידי הכפלת שני האגפים ב π2- נקבל את הדרוש.

פתרונו של אוילר אינו ריגורוזי לחלוטין בסטנדרט המתמטי המודרני. זאת משום שלא הצדיק את ההנחה שניתן להביע את \,\sin x / x כמכפלת גורמים לינאריים המאפסים את האפסים. ביטוי זה מוצדק בדיעבד על ידי משפט הפירוק של ויירשטראס.

פתרון באמצעות אנליזה הרמונית[עריכת קוד מקור | עריכה]

את הבעיה אפשר לפתור כמקרה פרטי של טור פורייה: פיתוח פונקציה מחזורית בקטע לטור של סינוסים וקוסינוסים.

תהי \ f פונקציית הזהות \ f(x)=x בקטע \ [-\pi,\pi]. כדי שטור פורייה שלה יהיה תקף גם מחוץ לקטע זה, נצטרך להמשיך אותה באופן מחזורי. נשים לב, שבהמשכה זה הפונקציה איננה רציפה ובכל זאת קיים לה פיתוח לטור פורייה.

נחשב את מקדמי פורייה שלה. מאחר שזו פונקציה אי-זוגית נשתמש בהצגה הטריגונומטרית שלה, כי אז כל המקדמים של הקוסינוסים מתאפסים ורק מקדמי הסינוסים נשארים (זאת מאחר שהסינוס היא פונקציה אי-זוגית והקוסינוס היא פונקציה זוגית).

לכן,

a_0 = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)dx=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} x dx= 0
a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx)dx= \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x \cos(nx)dx = 0

כעת, נחשב את מקדמי הסינוסים:

 b_n= \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx)dx=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} x \sin(nx)dx =
=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi} x\sin(nx) dx= \frac{2}{\pi}\left(
\left[-\frac{x\cos(nx)}{n}\right]_0^{\pi}+\left[\frac{\sin(nx)}{n^2}\right]_0^{\pi}
\right)=(-1)^{n+1}\frac{2}{n}

בסך הכל, טור פורייה של x הוא

f(x)=x=a_0 + \sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)) =
=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{2}{n} \sin(nx), \quad \forall x\in (-\pi,\pi)

כעת נשתמש בזהות פרסבל

\frac{a_0^2}{4} + \frac{1}{2} \sum_{n=1}^\infty \left( a_n^2 + b_n^2 \right) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x)^2 dx.

כדי לקבל ש

\frac{1}{2} \sum_{n=1}^{\infty}{ \frac{4}{n^2} } = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^\pi x^2 dx = \frac{1}{\pi} \frac{\pi^3}{3}

נחלק ב-2 את הביטוי ונצמצם את פאי באגף הימני ונקבל

\sum_{n=1}^{\infty}{ \frac{1}{n^2} } = \frac{\pi^2}{6}

כמבוקש.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]