פונקציה מחזורית

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
דוגמה לפונקציה מחזורית עם מחזור יסודי P

במתמטיקה, פונקציה מחזורית היא פונקציה אשר הערכים שהיא מקבלת חוזרים על עצמם כאשר מוסיפים למשתנה הבלתי תלוי שלה גורם קבוע, כלומר, \ f(x+T)=f(x) לכל \ x, עבור קבוע \ T (שונה מאפס) מתאים. גורם קבוע זה קרוי מחזור. המחזור החיובי הקטן ביותר של הפונקציה, אם קיים, נקרא המחזור היסודי.

בין הדוגמאות הבולטות: הפונקציות הטריגונומטריות סינוס וקוסינוס (בעלות מחזור \ 2\pi), ופונקציית הטנגנס, שמחזורה פאי. בפונקציות מחזוריות, ממשיות בעיקר, עוסקת אנליזת פורייה.

הגדרה[עריכת קוד מקור | עריכה]

פונקציה ממשית או מרוכבת \ f היא מחזורית, אם קיים קבוע \ T\neq 0 כך שלכל \ x (ממשי או מרוכב, בהתאמה), מתקיים \,f(x) = f(x+T). כל קבוע \ T כזה נקרא מחזור של הפונקציה. אוסף המחזורים הוא תת חבורה של השדה (הממשי או המרוכב, בהתאמה). המקרה שבו חבורת המחזורים אינה דיסקרטית הוא מקרה פתולוגי, המתאפשר רק כאשר הפונקציה קבועה, או אינה אנליטית.

במקרה הממשי, אם חבורת המחזורים דיסקרטית אז היא ציקלית, בעלת יוצר יחיד, שהוא המחזור בעל הערך המוחלט החיובי הקטן ביותר. מספר זה הוא המחזור של הפונקציה, וכל מחזור אחר מהווה כפולה שלמה שלו. גם במקרה המרוכב ייתכן שחבורת המחזורים ציקלית, ואז משתמשים באותה טרמינולוגיה.

במקרה המרוכב יכולה חבורת המחזורים להיות בעלת שני יוצרים (למשל, כאשר הפונקציה מקיימת את הזהות \ f(z+1)=f(z+i)=f(z)). פונקציות מרוכבות בעלות שני מחזורים נקראות פונקציות אליפטיות.

באופן כללי יותר, פונקציה \ f : G \rightarrow X מחבורה G לקבוצה X היא מחזורית מימין, אם קיים \ 1 \neq a\in G כך ש- \ f(ga)=f(g). האוסף A של מחזורים-מימין (כלומר, האברים \ a\in G המקיימים את התנאי \ f(ga)=f(g) לכל g) הוא תת חבורה של G, והפונקציה \ f מוגדרת על מרחב הקוסטים \ G/A (לפי הנוסחה \ f(gA) = f(g)). פונקציה כזו נקראת בדרך-כלל אינווריאנטית תחת פעולת A (או A-אינווריאנטית). פונקציה שהיא אינווריאנטית גם מימין וגם משמאל נקראת דו-אינווריאנטית. בתנאים מסוימים, אוסף הפונקציות האלה מהווה אלגברת הקה.

דוגמאות[עריכת קוד מקור | עריכה]