בעיית וייטהד

בתורת החבורות, בעיית וייטהד היא השאלה הבאה: האם כל חבורה אבלית $A$ שעבורה מתקיים התנאי ${\text{Ext}}^{1}(A,\mathbb {Z} )=0$, היא חבורה אבלית חופשית? (הסימון ${\text{Ext}}^{1}$ מתייחס לפונקטור הנגזר Ext). בעיה זו נחשבה לאחת הבעיות המרכזיות בתורת החבורות, עד שהתברר ב-1971 שהיא בלתי כריעה במסגרת האקסיומות הרגילות של תורת הקבוצות.

פירושו של התנאי ${\text{Ext}}^{1}(A,\mathbb {Z} )=0$ הוא שכל הרחבה $1\to \mathbb {Z} \to B\to A\to 1$, מתפצלת. במילים אחרות, לכל חבורה אבלית $B$ ואפימורפיזם $f:B\to A$ שהגרעין שלו הוא חבורה ציקלית אינסופית, קיים מונומורפיזם $g:A\to B$ כך שההרכבה $f\circ g$ היא העתקת הזהות של $A$. אם $A$ מקיימת תנאים אלו, היא נקראת חבורת וייטהד. בעיית וייטהד, אם כך, שואלת האם כל חבורת וייטהד היא חופשית (אין לחבורות האלה קשר לחבורות ${\text{K}}_{1}$ או ${\text{SK}}_{1}$).

את השאלה הציג ג'ון וייטהד בשנות ה-50 של המאה ה-20, בהקשר לבעיית Cousin השנייה. תשובה חיובית עבור חבורות בנות מנייה ניתנה זמן קצר אחר-כך. ההתקדמות בקשר לחבורות גדולות יותר הייתה איטית, והבעיה נחשבה לאחת החשובות ביותר באלגברה.

ב-1973 הראה שהרן שלח שהבעיה בלתי תלויה באקסיומות הרגילות של תורת הקבוצות, אקסיומות ZFC. ביתר פירוט, הוא הוכיח ש:

• אם כל הקבוצות ניתנות לבנייה, אז כל חבורת וייטהד היא חופשית;
• אם מניחים את אקסיומת מרטין ואת שלילת השערת הרצף, אז יש חבורות וייטהד לא חופשיות.

אם מניחים שאקסיומות ZFC יוצרות מערכת עקבית, אז גם המערכת הכוללת את אקסיומת הבנייה, שקובעת שכל הקבוצות ניתנות לבנייה, היא עקבית. מצד שני, אקסיומת מרטין עקבית עם שלילת השערת הרצף. יחד, שתי התוצאות מראות שבעיית וייטהד אינה ניתנת להכרעה.

תוצאה זו הייתה לחלוטין בלתי צפויה. קיומן של טענות בלתי כריעות היה ידוע מאז 1931, כאשר קורט גדל הוכיח את משפט האי-שלמות שלו. עם זאת, דוגמאות לטענות כאלה, שהבולטת שבהן היא השערת הרצף, היו בדרך כלל מוגבלות לתחומי תורת הקבוצות. הפעם הכתה האי-שלמות באחד המבצרים של המתמטיקה המודרנית, תורת החבורות.

ב-1980 הראה שלח שגם אם מניחים את השערת הרצף, בעיית וייטהד נשארת בלתי כריעה. כמה וכמה תוצאות אחרות של אי-כריעות עבור בעיה זו המחישו באופן חד את התלות של התאוריה של החבורות האבליות שאינן בנות מנייה, באקסיומות של תורת הקבוצות שמעליהן מוגדרות החבורות.

קישורים חיצוניים

• שלושים שנה לפתרון בעיית וייטהד – חוברת בעברית המתארת בפירוט את ההוכחה של שלח