קבוצה אינסופית

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

קבוצה אינסופית היא קבוצה שמספר איבריה אינו סופי, כלומר קבוצה שאינה קבוצה סופית. קבוצות אינסופיות הן נושא מרכזי בתורת הקבוצות ובענפים נוספים של המתמטיקה.

בתורת הקבוצות האקסיומטית נקבע קיומה של קבוצה אינסופית באקסיומת הקבוצה האינסופית (או אקסיומת האינסוף).

דוגמאות לקבוצות אינסופיות:

תכונה המבדילה קבוצה אינסופית מקבוצה סופית היא שקבוצה אינסופית יכולה להיות שקולה לתת קבוצה שלה השונה ממנה. לדוגמה, קבוצת כל המספרים הטבעיים \!\, 1,2,3,\dots שקולה לקבוצת כל המספרים הזוגיים \!\, 2,4,6,\dots, על-פי ההתאמה שמתאימה לכל מספר טבעי \!\, n את המספר הזוגי \!\, 2n. ברור שההתאמה הזו מסדרת את המספרים משתי הקבוצות בזוגות, ושהזוגות ממצים את כל המספרים משתי הקבוצות. תכונה זו של המספרים הטבעיים הוצגה על ידי גלילאו גליליי, ברעיון שזכה לשם הפרדוקס של גלילאו. תכונה זו היא ההגדרה הפורמלית של קבוצה אינסופית בתורת הקבוצות הנאיבית, והיא הוצגה לראשונה על ידי ריכרד דדקינד: קבוצה אינסופית היא קבוצה שקיימת קבוצה החלקית לה ממש ושקולה לה. בניסוח אחר: קבוצה A היא אינסופית אם ורק אם קיימת פונקציה חד-חד ערכית מ-A ל-A שאינה על A.

כאשר מתקיימת שקילות בין שתי קבוצות אינסופיות פירוש הדבר שיש להן אותה עוצמה. הראינו שלקבוצת המספרים הטבעיים ולקבוצת המספרים הזוגיים יש אותה עוצמה. קבוצת המספרים הטבעיים היא קבוצה בת מנייה, וכך גם כל קבוצה השקולה לה (כגון קבוצת המספרים הזוגיים). האלכסון של קנטור הוא הוכחתו של גיאורג קנטור שהמספרים הממשיים אינם בני מנייה כלומר, לא קיימת התאמה חד-חד ערכית בינם לבין המספרים הטבעיים.

תכונותיהן של קבוצות אינסופיות עשויות להיראות מפתיעות למדי למי שמורגל לעסוק רק בקבוצות סופיות (שהן הקבוצות שאנו פוגשים בחיי היומיום). המחשה פופולרית של אחדות מתכונות אלה ניתנה על ידי המתמטיקאי הנודע דויד הילברט בסיפור שזכה לשם המלון של הילברט.

תכונות של קבוצות אינסופיות:

  • כאשר נתונה קבוצה אינסופית של קבוצות (כלומר קבוצה אינסופית שאיבריה הם קבוצות), האיחוד של קבוצות אלה הוא קבוצה אינסופית.
  • קבוצת החזקה של קבוצה אינסופית היא קבוצה אינסופית שעוצמתה גבוהה יותר (לפי משפט קנטור).
  • כל קבוצה שיש לה תת-קבוצה אינסופית היא קבוצה אינסופית.
  • כאשר קבוצה אינסופית מחולקת למספר סופי של תת-קבוצות, לפחות אחת מהן היא קבוצה אינסופית.
  • המכפלה הקרטזית של קבוצה אינסופית וקבוצה שאינה ריקה היא קבוצה אינסופית.
  • כאשר קבוצה אינסופית מסודרת בסדר טוב, יש לה תת-קבוצה לא ריקה שאין בה איבר גדול ביותר.