אקסיומת הבנייה

אקסיומת הבנייה היא אקסיומה הטוענת שכל קבוצה היא "בת-בנייה".

אינטואיטיבית, אקסיומה זו מיועדת "למזער-אונטולוגית" - עד למינימום האפשרי, ולמעשה עד ליקום-הקבוצות בנות-הבנייה, את יקום הקבוצות הסטנדרטי הנוצר ממערכת צרמלו-פרנקל. מבחינה זו, יחסה של תורת הקבוצות לאקסיומת הבנייה מקביל אל יחסה של האריתמטיקה (לפי המודל הסטנדרטי שלה) לאקסיומת האינדוקציה, שאף היא מיועדת למזער למינימום (ולמעשה עד לקבוצת המספרים הטבעיים) את האונטולוגיה של האריתמטיקה.

מבחינה טכנית, טוענת אקסיומת הבנייה שכל קבוצה ניתנת להיבנות משאר האקסיומות של מערכת צרמלו פרנקל; לשון אחר: היא טוענת שכל קבוצה שייכת לכל יקום-קבוצות הנוצר ממערכת אקסיומות המכילה את מערכת צרמלו-פרנקל.

הראשון שרמז לאקסיומה הזו - בכנותו אותה "אקסיומת ההגבלה" - היה המתמטיקאי הישראלי אברהם הלוי פרנקל, בשנת 1922; עם זאת, הוא ניסח אותה בשפת-על (בלתי פורמלית) - כזו הכרוכה במונחים חיצוניים (כגון המונח "אקסיומות" וכדומה). המתמטיקאים של זמנו אף הסתייגו ממנה, וקראו לה "אקסיומה אד-הוק". הראשון שניסח את האקסיומה - ללא שימוש במונחים חיצוניים - אלא על ידי ניסוח תקני בשפה הפורמלית הרגילה של מערכת צרמלו-פרנקל (באופן מקביל אל תקניות הניסוח של אקסיומת האינדוקציה באריתמטיקה), היה המתמטיקאי והלוגיקן האוסטרי קורט גדל, בשנת 1935.

אקסיומת הבניה מכריעה כמה השערות מפורסמות: היא בראש ובראשונה מכריעה לחיוב את השערת הרצף (וממילא גם את אקסיומת הבחירה הנובעת מהשערת הרצף), כפי שהוכיח גדל בשנת 1938. מאוחר יותר התברר שהיא גם מכריעה לחיוב את ההשערה בדבר קיומה של קבוצה פשוטה בלתי מדידה של מספרים ממשיים, וכן שהיא מכריעה לשלילה את השערת ססלין. כמו כן, אקסיומת הבניה גוררת את אקסיומת היסוד, המהוה באופן מסורתי חלק בלתי נפרד מתורת הקבוצות האקסיומטית.

חשיבותה של אקסיומת הבניה התגלתה בשנת 1940, כשגדל הוכיח כי - אם מערכת צרמלו פרנקל עקבית - אז היא תישאר כזו גם אם תתווסף אליה אקסיומת הבניה. תגלית זו איפשרה לגדל להוכיח, לראשונה, כי - אם מערכת צרמלו פרנקל עקבית - אז היא תישאר כזו גם אם תתווסף אליה השערת הרצף (מסקנה מקבילה תהיה תקפה לגבי השערות אחרות המוכרעות על ידי אקסיומת הבניה).

למרות עיקביותה המוכחת של אקסיומת הבניה (ביחס למערכת צרמלו פרנקל), ועל אף שהעקביות הזו מספיקה לשם הכרעת עקביותן (לאו דווקא נכונותן) של כמה השערות מפורסמות (ובכללן השערת הרצף כאמור), הרי שעצם נכונותה של אקסיומת הבניה - שנויה במחלוקת: אפילו גדל עצמו, מנסחה הראשון (פורמלית), סבר כי היא אינה אינטואיטיבית דיה, בהגבילה אד-הוק ובאופן שרירותי ומוגזם על פניו את יקום הקבוצות. הגד דומה הועלה בזמנו כנגד גירסתה המיושנת יותר: "אקסיומת ההגבלה" (ראו לעיל).

ראו גם

• השערת הרצף
• השערת ססלין
• קבוצה מדידה
• אקסיומת היסוד

נושאים בתורת הקבוצות
תורת הקבוצות הנאיבית • תורת הקבוצות האקסיומטית • קבוצה • יחידון • הקבוצה הריקה • איחוד • חיתוך • משלים • הפרש סימטרי • קבוצת החזקה • מכפלה קרטזית • יחס • יחס שקילות • פונקציה • עוצמה • קבוצה בת מנייה • האלכסון של קנטור • משפט קנטור שרדר ברנשטיין • השערת הרצף • הפרדוקס של ראסל • סדר חלקי • מספר סודר • הלמה של צורן • אקסיומת הבחירה