זווית דו-מישור

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

בגאומטריה, הזווית בין שני מישורים נקראת זווית דו-מישור.

הזווית \ \phi_{AB} בין שני מישורים A ו-B מוגדרת כזווית בין האנכים של מישורים אלה. בפרט, אם נבחר אנכים באורך וקטור יחידה, נקבל את הנוסחה הבאה לזווית הדו-מישורית:


\cos \phi_{AB} = \mathbf{n}_{A} \cdot \mathbf{n}_{B}

לחלופין, ניתן להגדיר את זווית הדו-מישור \ \phi_{AB} כזווית בה יש לסובב את מישור A ביחס לקו החיתוך בין המישורים, כדי שיתלכד עם מישור B. הזווית ההפוכה \ \phi_{BA} תחזיר אותנו ממישור B למישור A, לכן \ \phi_{AB} = -\phi_{BA}. גם הזווית המשלימה ל- \ \phi_{AB} מאפשרת הגעה ממישור A ל-B.

הגדרות חלופיות[עריכת קוד מקור | עריכה]

איור 1: זווית הדו-מישור בין שלושה וקטורים

כשם שניתן להגדיר מישור באמצעות שני ישרים הנחתכים בנקודה אחת, ניתן גם להגדיר זווית דו-מישור באמצעות שלושה וקטורים שונים: \mathbf{b}_{1}, \mathbf{b}_{2} ו \mathbf{b}_{3} (הווקטורים האדום, הירוק והכחול באיור 1). הווקטורים \mathbf{b}_{1} ו\mathbf{b}_{2} מגדירים מישור אחד, בעוד שהווקטורים \mathbf{b}_{2} ו- \mathbf{b}_{3} מגדירים מישור נוסף.

זוויות דו-מישור של ארבעה אטומים[עריכת קוד מקור | עריכה]

איור 2: זווית הדו-מישור בין שלושה וקטורי קשר כימי, המחברים ארבעה אטומים

בקירוב טוב, קשרים כימיים בין אטומים שכנים במולקולה שומרים על אורכיהם ועל הזוויות היחסיות ביניהם גם כאשר המולקולה מתפרקת למספר מולקולות קטנות יותר, או נקשרת למולקולות אחרות. הודות לכך, ניתן להגדיר את מבנה המולקולה באמצעות סדרה של זוויות דו-מישוריות, שכל אחת מהן מוגדרת על ידי שלישיית וקטורי קשר כימי. כפי שמודגם באיור 2, הזווית הדו-מישורית \ \phi משנה רק את המרחק בין האטום הראשון והרביעי. שאר המרחקים הבין-אטומיים באיור מאולצים על ידי אורכי הקשרים הכימיים וזוויותיהם.

איור 3: זווית הדו-מישור בין שלושה וקטורי קשר כימי, המחברים ארבעה אטומים. מנקודת מבט זו, וקטור הקשר השני (הירוק) יוצא מתוך הדף

איור 3 ממחיש את הזווית הדו-מישורית בין ארבעה אטומים. האטום הראשון פונה כלפי מטה, האטום הרביעי פונה באלכסון ימינה ואילו האטומים השני והשלישי ממוקמים במרכז. וקטור הקשר השני יוצא מתוך הדף. הזווית הדו-מישורית \ \phi היא הזווית הנוצרת בין הווקטור האדום \mathbf{b}_{1} לבין הווקטור הכחול \mathbf{b}_{3} במגמה מתימטית חיובית (נגד כיוון השעון). כאשר האטום הרביעי משלים הקפה סביב האטום הראשון, הזווית הדו-מישורית מתאפסת. כאשר האטומים הראשון והרביעי נגדיים זה לזה, כמו באיור 2, הזווית הדו-מישורית היא \ 180^{\circ}.

זוויות דו-מישוריות במולקולות ביולוגיות[עריכת קוד מקור | עריכה]

חלבונים בנויים משרשרת של חומצות אמינו המחוברות זו לזו באמצעות קשר פפטידי. נקבעו שמות תקניים לזוויות הדו-מישוריות לאורך השרשרת:

  • \ \phi עבור האטומים \mathrm{C^{\prime}-N-C^{\alpha}-C^{\prime}}
  • \ \psi עבור האטומים \mathrm{N-C^{\alpha}-C^{\prime}-N}
  • \ \omega עבור האטומים \mathrm{C^{\alpha}-C^{\prime}-N-C^{\alpha}}

כלומר, הזווית \ \phi קובעת את המרחק בין אטומי הפחמן של קבוצות הקרבוקסיל של חומצות אמינו שכנות \mathrm{C^{\prime}-C^{\prime}}. הזווית \ \psi קובעת את המרחק בין אטומי החנקן של קבוצות האמין של חומצות אמינו שכנות \ \mathrm{N-N}. לבסוף, הזווית \ \omega קובעת את המרחק בין אטומי הפחמן הראשיים של חומצות אמינו שכנות \ \mathrm{C^{\alpha}-C^{\alpha}}.

מישוריות הקשר הפפטידי מאלצת את הזווית השלישית \ \omega להיות 0^{\circ} או 180^{\circ}. התצורה בה\ \omega=0^{\circ} מכונה תצורת ציס (cis) ואילו התצורה בה \ \omega=180^{\circ} מכונה תצורת טראנס (trans). אלה תצורות איזומריות. המרחקים בין אטומי הפחמן המרכזיים \ \mathrm{C^{\alpha}} בתצורות ציס וטראנס הינם בקירוב 2.8 ו-3.8 אנגסטרם, בהתאמה. באופן כללי, תצורת טראנס שכיחה יותר בחלבונים. תצורת ציס מופיעה בעיקר בקשר הפפטידי לקבוצה האימינית של חומצת האימינו פרולין (ראו גם - איזומריות ציס-טראנס).

הזוויות הדו-מישוריות בחלבונים מסומנות כ-\ \chi_{1}-\ \chi_{5}, בהתאם למרחקן מאטום הפחמן המרכזי הנושא את השייר של חומצת האמינו. הזווית הראשונה \ \chi_{1} מוגדרת על ידי האטומים \ \mathrm{N-C^{\alpha}-C^{\beta}-C^{\gamma}}, הזווית השנייה \ \chi_{2} מוגדרת על ידי האטומים \ \mathrm{C^{\alpha}-C^{\beta}-C^{\gamma}-C^{\delta}}, וכן הלאה.

הזוויות הדו-מישוריות בחלבונים נוטות להצטבר בקרבת הזוויות 180^{\circ}, 60^{\circ} ו- -60^{\circ}. קיימת השפעה הדדית בין זוויות דו-מישוריות שכנות: רק לעתים רחוקות נמצא שתי זוויות דו-מישוריות שכנות בגודל 60^{\circ} וכו'.

IUPAC הגדירו שמות תקניים גם לזוויות דו-מישוריות במולקולות אחרות, כגון חומצות הגרעין DNA ו-RNA ורב-סוכרים.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]