מכפלה סקלרית

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

מכפלה סקלרית היא פעולה על שני וקטורים מהמרחב האוקלידי \ \mathbb{R}^n ומחזירה סקלר (ומכאן שמה). המכפלה הסקלרית מהווה מכפלה פנימית במרחב האוקלידי.

הגדרה פורמלית[עריכת קוד מקור | עריכה]

המכפלה הסקלרית בין שני וקטורים \ \vec \alpha , \vec \beta, מסומנת על ידי \vec \alpha \cdot \vec \beta. (יש ספרים המשתמשים בנקודת כפל שמנה יותר, ולכן באנגלית מכפלה זו נקראת dot product).

כשם שניתן לתאר וקטור במרחב באמצעות סדרת קואורדינטות או באמצעות אורכו וכיוונו, כך גם קיימות שתי הגדרות (שקולות) למכפלה הסקלרית המשתמשות במאפיינים אלה.

ההגדרה הגאומטרית[עריכת קוד מקור | עריכה]

Scalarproduct.gif

יהיו שני וקטורים \ \vec \alpha,\vec \beta. מכפלתם הסקלרית שווה למכפלת אורכיהם (להכללת מונח האורך, עיינו בערך נורמה) וקוסינוס הזווית שביניהם. בסימנים -

\ \vec \alpha\cdot\vec \beta=\|\mathbf{\alpha}\|\|\mathbf{\beta}\|\cos (\alpha , \beta ).

בניגוד לזווית בין ישרים, שאינה יכולה לעלות על 90 מעלות, הזווית בין וקטורים יכולה גם להיות קהה ואז המכפלה הסקלרית תהיה שלילית.

ההגדרה האלגברית[עריכת קוד מקור | עריכה]

במרחב וקטורי העמודה/שורה יהיו שני וקטורים מהצורה -

\ \vec \alpha=(a_1, ..., a_n)
\ \vec \beta=(b_1, ..., b_n)

מכפלתם הסקלרית תוגדר על ידי -

\ \lang \alpha ,\beta \rang = a_{1}b_{1} + ... + a_{n}b_{n}

הגדרה זו כללית יותר מההגדרה הגאומטרית, כיוון שניתן להכלילה לממדים גדולים מ-3, שם מושג הזווית בין הווקטורים טעון הגדרה. למעשה ניתן להגדיר זווית בעזרת המכפלה הפנימית. כיוון שאי שוויון קושי-שוורץ מבטיח כי בכל ממד מתקיים \ \left| \vec \alpha \cdot \vec \beta \right| \le \left| \vec \alpha  \right|\cdot \left| \vec \beta \right|, ניתן להגדיר

\cos (\theta) \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} \frac{\vec \alpha \cdot \vec \beta}{| \vec \alpha |\cdot |\vec \beta|}.

תמיד ישנה זווית המקיימת משוואה זו, כיוון שהמנה תמיד קטנה או שווה בערכה המוחלט ל - 1.

במקרה הפרטי של קואורדינטות קרטזיות במרחב תלת ממדי, המכפלה הסקלרית נתונה על ידי

\ \left( \alpha_x \hat{x} + \alpha_y \hat{y} + \alpha_z \hat{z} \right) \cdot \left( \beta_x \hat{x} + \beta_y \hat{y} + \beta_z \hat{z} \right) = \alpha_x \beta_x + \alpha_y \beta_y + \alpha_z \beta_z

נוסחה זו נכונה עבור כל בסיס אורתונורמלי.

תכונות ומאפיינים[עריכת קוד מקור | עריכה]

המכפלה הסקלרית היא בילינארית (כלומר, \vec A \cdot (\vec B +\vec C) = \vec A \cdot \vec B + \vec A \cdot \vec C ולכל סקלר t, (t\vec A) \cdot \vec B = t(\vec A \cdot \vec B) ) סימטרית (כלומר \vec A \cdot \vec B = \vec B \cdot \vec A ).

מכפלה סקלרית של שני וקטורים היא 0 אם ורק אם הם ניצבים זה לזה, כיוון ש-\ \cos (90^\circ)=0. ההכללה של תכונה זו במרחבי מכפלה פנימית כלליים היא האורתוגונליותיוונית, אורתוגונלי = ניצב). כאשר המכפלה הפנימית בין שני וקטורים מתאפסת, הם נקראים וקטורים אורתוגונליים, או ניצבים.

משמעות[עריכת קוד מקור | עריכה]

מכפלה סקלרית של וקטור בוקטור יחידה נותנת את ההטלה שלו על אותו כיוון: ההיטל של וקטור \vec{B} על \hat{A} נתון על ידי \ \mbox{Projection} = ( \hat{A} \cdot \vec{B} ) \hat{A} כאשר "כובע" מסמן וקטור יחידה.

שימושים[עריכת קוד מקור | עריכה]

בפיזיקה, עבודה של כוח קבוע שווה למכפלה הסקלרית של הכוח בהעתק.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]