מכפלה סקלרית

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

מכפלה סקלרית היא פעולה הפועלת על שני וקטורים מהמרחב האוקלידי $\ \mathbb{R}^n$ ומחזירה סקלר (ומכאן שמה). המכפלה הסקלרית מהווה מכפלה פנימית במרחב האוקלידי.

תוכן עניינים

1 הגדרה פורמלית
- 1.1 ההגדרה הגאומטרית
- 1.2 ההגדרה האלגברית
2 תכונות ומאפיינים
3 משמעות
4 ראו גם

[עריכה] הגדרה פורמלית

המכפלה הסקלרית בין שני וקטורים $\ \vec \alpha , \vec \beta$ , מסומנת על ידי $\vec \alpha \cdot \vec \beta$ . (יש ספרים המשתמשים בנקודת כפל שמנה יותר, ולכן באנגלית מכפלה זו נקראת dot product.)

כשם שניתן לתאר וקטור במרחב באמצעות סדרת קואורדינטות או באמצעות אורכו וכיוונו, כך גם קיימות שתי הגדרות (שקולות) למכפלה הסקלרית המשתמשות במאפיינים אלה.

[עריכה] ההגדרה הגאומטרית

יהיו שני וקטורים $\ \vec \alpha,\vec \beta$ . מכפלתם הסקלרית שווה למכפלת אורכיהם (להכללת מונח האורך, עיינו בערך נורמה) וקוסינוס הזווית שביניהם. בסימנים -

$\ \vec \alpha\cdot\vec \beta=\|\mathbf{\alpha}\|\|\mathbf{\beta}\|\cos (\alpha , \beta )$ .

חשוב לציין, כי הזווית בין הווקטורים (להבדיל מזווית בין ישרים שקטנה או שווה ל 90) יכולה גם להיות קהה ואז המכפלה הסקלרית תהיה שלילית.

[עריכה] ההגדרה האלגברית

במרחב וקטורי העמודה/שורה יהיו שני וקטורים מהצורה -

$\ \vec \alpha=(a_1, ..., a_n)$

$\ \vec \beta=(b_1, ..., b_n)$

מכפלתם הסקלרית תוגדר על ידי -

$\ \lang \alpha ,\beta \rang = a_{1}b_{1} + ... + a_{n}b_{n}$

הגדרה זו כללית יותר מההגדרה הגאומטרית, כיוון שניתן להכלילה לממדים גדולים מ-3, שם מושג הזווית בין הווקטורים טעון הגדרה. למעשה ניתן להגדיר זווית בעזרת המכפלה הפנימית. כיוון שאי שוויון קושי-שוורץ מבטיח לנו כי בכל מימד מתקיים $\ \left| \vec \alpha \cdot \vec \beta \right| \le \left| \vec \alpha \right|\cdot \left| \vec \beta \right|$ , ניתן להגדיר

$\cos (\theta) \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} \frac{\vec \alpha \cdot \vec \beta}{| \vec \alpha |\cdot |\vec \beta|}$ .

תמיד ישנה זווית המקיימת משוואה זו, כיוון שהמנה תמיד קטנה בערכה המוחלט מ - 1.

במקרה הפרטי של קואורדינטות קרטזיות במרחב תלת ממדי, המכפלה הסקלרית נתונה על ידי

$\ \left( \alpha_x \hat{x} + \alpha_y \hat{y} + \alpha_z \hat{z} \right) \cdot \left( \beta_x \hat{x} + \beta_y \hat{y} + \beta_z \hat{z} \right) = \alpha_x \beta_x + \alpha_y \beta_y + \alpha_z \beta_z$

נוסחה זו נכונה עבור כל בסיס אורתונורמלי.

[עריכה] תכונות ומאפיינים

נבחין בכמה מאפיינים של המכפלה הסקלרית:

המכפלה הסקלרית היא חילופית, כלומר מתקיים עבורה חוק החילוף: $\vec A \cdot \vec B = \vec B \cdot \vec A$
מכפלה סקלרית של שני וקטורים שונים מאפס תהיה שווה ל-0 אם ורק אם הם ניצבים זה לזה, כיוון ש- $\ \cos (90^\circ)=0$ . ההכללה של תכונה זו במרחבי מכפלה פנימית כלליים היא האורתוגונליות (ביוונית, אורתוגונלי = ניצב). כאשר המכפלה הפנימית בין שני וקטורים מתאפסת, הם נקראים וקטורים אורתוגונליים, או ניצבים.

[עריכה] משמעות

מכפלה סקלרית של וקטור בוקטור יחידה נותנת את ההטלה שלו על אותו כיוון: ההיטל של וקטור $\vec{B}$ על $\hat{A}$ נתון על ידי $\ \mbox{Projection} = ( \hat{A} \cdot \vec{B} ) \hat{A}$ כאשר "כובע" מסמן וקטור יחידה.