סדר מלא

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

בתורת הקבוצות, סדר מלא (או סדר לינארי) הוא סדר חלקי שמקיים גם את תכונות ההשוואה, כלומר, לכל \ a ו-\ b בקבוצה הסדורה חלקית \ \left(A, \le \right) מתקיים \ a \le b או \ b \le a . קבוצה הסדורה בסדר מלא נקראת קבוצה סדורה (או קבוצה סדורה לינארית או שרשרת).

דוגמאות:

הגדרה[עריכת קוד מקור | עריכה]

יחס סדר חלקי (חלש או חזק) R נקרא יחס סדר מלא (או "יחס סדר שלם") אם לכל \ a \neq b מתקיים \ aRb או \ bRa. קבוצה שמוגדר עליה יחס סדר מלא נקראת סדורה לינארית (או "סדורה בשלמות").

פעולות בין סדרים[עריכת קוד מקור | עריכה]

חיבור סדרים  : יהיו ( P,\le ) ( Q,\le ) סדרים אז נגדיר \ Q + P באופן הבא : \ P + Q = P \times \left\{0\right\}\cup  Q \times  \left\{1\right\}

עם הסדר :

x,y \in P , (x ,0) \le (y ,0) \iff x \le y

, a,b \in Q , (a ,1) \le (b ,1) \iff a \le b

ולכל  a \in Q , x \in P מתקיים  x  \le a


כפל סדרים: יהיו ( P,\le ) ( Q,\le ) סדרים אז נגדיר  Q \times P עם הסדר המילוני הימני (העברי) כלומר :

 (x_1  , x_2 ) \le (y_1 , y_2) אם מתקיים :

 x_2 \le y_2 או, \ y_2 = x_2 וגם  x_1 \le y_1


הערות:

  • מכיוון שפעולת החיבור ופעולת הכפל מוגדרות היטב ניתן גם לדבר על פילוג מימין : יהיו ( M,\le ) ( P,\le ) ( Q,\le ) סדרים מלאים, אז מתקיים : P \times (Q +M ) = P \times Q + P \times M
  • עבור סדרים סופיים פילוג משמאל מתקיים. אך עבור סדרים אינסופיים זה לא נכון.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]


נושאים בתורת הקבוצות

תורת הקבוצות הנאיביתתורת הקבוצות האקסיומטיתקבוצהיחידוןהקבוצה הריקהאיחודחיתוךמשליםהפרש סימטריקבוצת החזקהמכפלה קרטזיתיחסיחס שקילותפונקציהעוצמהקבוצה בת מנייההאלכסון של קנטורמשפט קנטור שרדר ברנשטייןהשערת הרצףהפרדוקס של ראסלסדר חלקימספר סודרהלמה של צורןאקסיומת הבחירה