לוגיקה מודלית

לוגיקה מודָלית (מהמלה הלטינית modus - מצב, אופן, דרך) היא הרחבה של הלוגיקה הקלאסית, המספקת אפשרות להגדרה פורמלית של ביטויים מודאליים. ביטויים מודאליים הם כאלה המתארים את אמיתותם של משפטים, כאשר המוכרים והבסיסיים ביותר הם הביטויים "הכרחי" ו"אפשרי". לדוגמה, על פסוק כמו "יורד גשם", ניתן להפעיל ביטויים מודאליים כמו "בהכרח יורד גשם" או "ייתכן שיורד גשם". הביטויים המודאליים הקלאסיים הם הכרח, אפשרות, חוסר-אפשרות וקונטינגנטיות. בין המושגים מתקיימים קשרים לוגיים המאפשרים להגדירם אחד מתוך השני: אפשרי הוא מה ששלילתו אינה הכרחית, לא-אפשרי הוא מה ששלילתו הכרחית וקונטינגנטי הוא מה ששלילתו אפשרית. הביטויים המודאליים הבסיסיים 'הכרחי ש-' ו'אפשרי ש-', מיוצגים בלוגיקה המודלית על ידי האופרטורים $\Box$ ו- $\Diamond$ בהתאמה. כך, למשל, אם הפסוק $p$ ייצג את הטענה 'יורד גשם בחוץ', הרי שהטענה 'בהכרח יורד גשם בחוץ' תוצרן כ- $\Box p$ ואילו הטענה 'ייתכן שיורד גשם בחוץ' תוצרן כ- $\Diamond p$. בנוסף לביטויים המודאליים הקלאסיים שתוארו לעיל, ישנם ביטויים מודאליים נוספים, כמו ביטויים של הסתברות. פיתוחים מאוחרים יותר של הלוגיקה המודאלית (לוגיקה מודאלית לא-קלאסית) מכילים הגדרות לביטויים מודאליים אלה. האופרטורים $\Box$ ו-$\Diamond$, המייצגים בלוגיקה המודאלית הקלאסית את הביטויים "הכרחי" ו"אפשרי", מייצגים מגוון של ביטויים מודאליים בפיתוחים המאוחרים.

סמנטיקה מקובלת ללוגיקה מודלית היא סמנטיקה של עולמות אפשריים, אשר מניחה את קיומם התאורטי של עולמות מרובים, השונים מהעולם שלנו, האקטואלי, במידה זו או אחרת, אך כולם בעלי היתכנות לוגית. תחת סמנטיקה זו, הטענה 'בהכרח יורד גשם בחוץ' היא אמיתית אם ורק אם הטענה 'יורד גשם בחוץ' אמיתית בכל העולמות האפשריים, ואילו הטענה 'ייתכן שיורד גשם בחוץ' היא אמיתית אם ורק אם הטענה 'יורד גשם בחוץ' אמיתית לפחות בעולם אפשרי אחד.

למעשה, לוגיקה מודלית הנו שם קיבוצי למספר רב של מערכות פורמליות, כל אחת בעלת מאפיינים הייחודיים לה, כשממערכות אלו נגזרות לוגיקות שונות שמטרתן לייצג ביטויים לשוניים בתחומים שונים, כגון לוגיקה טמפורלית לייצוג ביטויים של זמן (לפני, אחרי וכדומה), לוגיקה אפיסטמית לייצוג ביטויי ידיעה (לדעת ש...), לוגיקה דוקססטית לביטויי אמונה (להאמין ש...), לוגיקה דיאונטית לביטויים נורמטיביים (צריך ש..., מותר ל...), ולוגיקה דינמית לתיאור שינויים.

מאפיין סמנטי חשוב המבדיל בין המערכות השונות של הלוגיקה המודלית מבוסס על המושג היסודי נגישות, שאינו מוגדר. מפרשים מושג זה כקובע לגבי כל עולם במערך נתון של עולמות אפשריים, אילו עולמות במערך רלוונטיים לו. כאשר נעשה שימוש במאפיין סמנטי זה מתקבלות ההגדרות הבאות: הטענה 'הכרחי ש-$p$' היא אמיתית בעולם מסוים במערך אם ורק אם הטענה '$p$' אמיתית בכל העולמות הנגישים לו, ואילו הטענה 'אפשרי ש-$p$' היא אמיתית בעולם זה אם ורק אם הטענה '$p$' אמיתית לפחות בעולם אחד הנגיש לו.

כך, למשל, במערכת המודלית K, שהיא המערכת המודלית הבסיסית ביותר, הנגישות בין העולמות היא אקראית. במערכת המודלית T, לעומת זאת, הנגישות היא רפלקסיבית, כלומר, כל עולם נגיש גם לעצמו. במערכת המודלית B הנגישות היא רפלקסיבית וסימטרית (אם עולם n נגיש לעולם m גם עולם m נגיש לעולם n). במערכת המודלית S4 הנגישות היא רפלקסיבית וטרנזיטיבית (אם עולם n נגיש לעולם m ועולם m נגיש לעולם k, גם עולם n נגיש לעולם k), ובמערכת S5, שהיא המערכת המודלית הפשוטה ביותר, הנגישות היא אוניברסלית (כל עולם נגיש לכל עולם).