מספר משולשי

ששת המספרים המשולשיים הראשונים

בתורת המספרים, מספר טבעי $\ T$ נקרא מספר משולשי אם אפשר לסדר $\ T$ עצמים בצורת משולש שווה-צלעות. המספרים המשולשיים הראשונים הם 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45.

המספר המשולשי ה-n-י מסומן $\ T_n$, והוא שווה לסכום כל המספרים הטבעיים מ-1 עד n. הסיבה לכך היא שכדי לבנות משולש שווה-צלעות שאורך צלעו הוא n, מסדרים n עצמים בשורה, מעליהם n-1 עצמים בשורה, וכן הלאה עד הקדקוד הכולל עצם אחד.

נוסחה מפורשת

ישנה נוסחה מפורשת הנותנת את המספרים המשולשיים: $\ T_n = \frac{n(n+1)}2$. אל נוסחה זו ניתן להגיע בדרכים רבות. הנוסחה הייתה ידועה כבר לפיתגורס במאה ה-6 לפנה"ס.

הוכחה באמצעות סכום סדרה חשבונית

הדרך הידועה ביותר להוכחת הנוסחה היא בעזרת הנוסחה הידועה לסכום סדרה חשבונית. $\ T_n$ הוא סכום סדרה בת n איברים שאיברה הראשון הוא 1 והפרשה 1. לכן לפי הנוסחה:

$\ T_n = 1+2+3+\ldots+n = \frac{n(n+1)}2$

אגדה ידועה מספרת שכאשר גאוס היה בן 7, הטיל עליו מורהו את המטלה לסכום את כל המספרים מ-1 עד 100 (כלומר לחשב את $\ T_{100}$). תוך שניות מעטות הדהים גאוס את המורה והגיע לתשובה, 5050. גאוס הבין כי ניתן לסדר את המספרים בזוגות: 1+100, 2+99, 3+98... וכן הלאה, כך שישנם $\ \tfrac{100}2$ זוגות שסכומם 101. כלומר:

$\ T_{100} = 1+2+3+\ldots+98+99+100 = \tfrac{100}{2}\cdot (100+1) = 5050$

הטיעון של גאוס הוא למעשה הוכחה לתקפות הנוסחה לסכום של סדרה חשבונית.

הוכחה באמצעות המקדם הבינומי

נניח וישנה קבוצה עם n+1 עצמים. נשאלת השאלה כמה דרכים שונות קיימות לבחור מביניהם זוג עצמים שונים. נספור אותם באופן הבא: נבחר עצם אחד. ישנם n עצמים אחרים בקבוצה שעם כל אחד מהם הוא יוצר זוג. נכלול אותם בספירה שלנו ונוציא את העצם מהקבוצה. נבחר עצם שני. נשארו n-1 עצמים בקבוצה שעם כל אחד מהם הוא יוצר זוג. נכלול אותם בספירה ונוציא את העצם מהקבוצה. לעצם השלישי יהיו רק n-2 אפשרויות. נכלול אותן ונוציאו, וכן הלאה, עד שנגיע לאיבר האחרון בקבוצה שיהיו לו 0 אפשרויות ליצירת זוגות. בסך הכל קיבלנו שמספר הזוגות האפשריים הוא:

$\ n+(n-1)+\ldots+2+1+0 = T_n$

מצד שני ישנה דרך אחרת לספור את מספר הזוגות האפשריים. נבחר עצם כלשהו (יש n+1 אפשרויות לעשות זאת) ונוציאו מהקבוצה, ואז נבחר לו עצם שני כבן זוג (יש n דרכים לעשות זאת). סך הכל, לפי עקרון הכפל, ישנן $n(n+1)$ דרכים לבחור שני עצמים בדרך זו. עם זאת נשים לב כי בשיטה זו ספרנו בנפרד את המקרה בו בוחרים קודם עצם a ואז עצם b, ואת המקרה בו בוחרים קודם את b ואז את a. לכן קיבלנו כל זוג אפשרי פעמיים ועלינו לחלק ב-2. נקבל בסך הכל שמספר הדרכים לבחור זוגות הוא $\frac{n(n+1)}2$.

מכיוון ששתי הדרכים לספור את הזוגות צריכות לתת תוצאה זהה, קיבלנו שוויון בין התוצאה בשיטה הראשונה לתוצאה בשיטה השנייה. לכן:

$\ T_n = \frac{n(n+1)}2$

הבעיה של מציאת מספר הזוגות האפשריים מתוך קבוצה עם n+1 עצמים היא מקרה פרטי של בעיה כללית יותר של מציאת מספר הקבוצות בנות k עצמים מתוך קבוצה עם m עצמים. תוצאה בסיסית בקומבינטוריקה קובעת שמספר הדרכים לבחור k עצמים מתוך קבוצה של m עצמים נתונה על ידי המקדם הבינומי $\tbinom mk$ (הוכחה לכך נתונה כאן). ובפרט מספר הדרכים לבחור זוגות מתוך קבוצה של n+1 איברים היא $\tbinom {n+1}2$.

לכן כל מספר משולשי שווה למקדם הבינומי הנ"ל. בעזרת הנוסחה לחישוב מקדם בינומי נקבל את הנוסחה למספר משולשי:

$\ T_n = \binom {n+1}2 = \frac{(n+1)!}{2!(n-1)!} = \frac{n(n+1)}2$

הוכחה גאומטרית

מספר משולשי נתון גם על ידי נוסחת הנסיגה $\ T_n = T_{n-1}+n$. הצידוק לנוסחה פשוט: $\ T_{n-1}$ הוא סכום המספרים מ-1 עד n-1. כדי לקבל ממנו את $\ T_n$ שהוא סכום המספרים מ-1 עד n, כל מה שיש לעשות הוא להוסיף את n.

ההבחנה הבאה היא שמתקיימת הזהות $\ T_n+T_{n-1} = n^2$, שיש לה צידוק גאומטרי פשוט המודגם באיור (ככל הידוע, הראשון להבחין בזהות הוא ניקומאכוס בן המאה ה-1).

$\ T_4+T_3 = 4^2$ = $\ 10+6 = 16$

$\ T_5+T_4 = 5^2$ = $\ 15+10 = 25$

כפי שמודגם באיור, את $\ T_n$ ואת $\ T_{n-1}$ ניתן לסדר כשני משולשים שמשלימים זה את זה כך שהם יוצרים ריבוע עם צלע באורך n.

כעת ניתן להסיק את הנוסחה למספר משולשי:

$\ n^2 = T_n+T_{n-1} = T_n+(T_n-n) = 2T_n - n$

נעביר את n אגף ונחלק ב-2:

$\ T_n = \frac{n^2+n}2 = \frac{n(n+1)}2$

הוכחה באינדוקציה

בעזרת נוסחת הנסיגה $\ T_n = T_{n-1}+n$ ניתן להוכיח באינדוקציה מתמטית את הנוסחה למספר משולשי בקלות. לעתים קרובות הדבר ניתן כדוגמה פשוטה לשימוש בשיטה.

בסיס האינדוקציה מתקיים: $\ T_1 = \frac{1(1+1)}2 = 1$.

נניח כי $\ T_{n-1} = \frac{(n-1)n}2$ ונוכיח כי $\ T_n = \frac{n(n+1)}2$:

$\ T_n = T_{n-1}+n = \frac{(n-1)n}2+n = \frac{n^2-n}2+\frac{2n}2 = \frac{n^2+n}2 = \frac{n(n+1)}2$

וההוכחה הושלמה.

תכונות

מאות תכונות שונות של מספרים משולשיים נחקרו במהלך השנים. להלן כמה תכונות מרכזיות:

• מספרים משולשיים הם מקרה פרטי של מספרים מצולעים – מספרים שניתן לסדרם בצורת מצולע משוכלל.

• לפי הנוסחה למספרים משולשיים, לכל מספר משולשי $\ T_n$ מתקיים ש-$\ 8T_n+1 = (2n+1)^2$ הוא מספר ריבועי. גם ההיפך נכון. אם מספר $\ 8k+1$ הוא מספר ריבועי, אז k הוא מספר משולשי. זאת משום ש-$\ 8k+1$ אי-זוגי, ולכן השורש שלו אי-זוגי, ומכאן שקיים n כך ש-$\ 8k+1 = (2n+1)^2 = 8T_n+1$.

• ההפרש בין המספר המצולע ה-n-י מסדר s (זה המתאים למצולע עם s צלעות) למספר המצולע ה-n-י מסדר s-1 הוא המספר המשולשי $\ T_{n-1}$. הזהות $\ n^2-T_n = T_{n-1}$ היא מקרה פרטי של הזהות הכללית.

• יש אינסוף מספרים משולשיים שהם גם ריבועים, ואלו נקראים מספרים משולשיים ריבועיים. הדוגמה הקטנה ביותר, מלבד 1, היא 36.
• סכום n המספרים המשולשיים הראשונים נקרא המספר הארבעוני ה-n-י, שכן ניתן לסדר את המשולשים במרחב התלת ממדי זה על גבי זה כך שנוצר ארבעון (פירמידה משולשת). ישנה נוסחה מפורשת למספרים ארבעוניים:

$\ T_1+T_2+\ldots+T_n = \frac {n(n+1)(n+2)} {6}$

• לפי משפט ניקומאכוס מתקיימת הזהות המפתיעה:

$\ 1^3+2^3+\ldots+n^3 = T_n^2 = (1+2+\ldots+n)^2$

• כל מספר משוכלל זוגי הוא מספר משולשי. אוילר הוכיח כי כל מספר משוכלל זוגי הוא מהצורה $\ T_{M_p} = \frac{M_p(M_p+1)}2 = 2^{p-1}(2^p-1)$, כאשר $\ M_p$ הוא מספר מרסן ראשוני.

• במשולש פסקל כל המספרים המשולשיים מופיעים באלכסון השלישי (מימין ומשמאל). תכונה זו נובעת מההצגה של המספרים המשולשיים כמקדמים בינומיים.

• מתוך הנוסחה למספרים משולשיים מוכיחים את הזהויות:
  • $\ T_{n+m} = T_n+T_m+nm$
  • $\ T_{nm} = T_nT_m+T_{n-1}T_{m-1}$

• הסכום האינסופי של כל המספרים ההופכיים של מספרים משולשיים שווה ל-2. זאת מכיוון שניתן להפוך אותו לטור טלסקופי שמתכנס ל-2:

$\ \sum_{n=1}^\infty {\frac1{T_n}} = \sum_{n=1}^\infty {\frac1{\frac{n(n+1)}2}} = \sum_{n=1}^\infty {\frac2{n(n+1)}} = \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac {2}{n} - \frac {2}{n+1} \right) = 2$

הצגת מספר כסכום של מספרים משולשיים

ב-10 ביולי 1796 גאוס הוכיח כי כל מספר טבעי ניתן להציג כסכום של שלושה מספרים משולשיים או פחות. הוא ציין הישג זה ביומנו בהערה תמציתית ומפורסמת: "ΕΥΡΗΚA! ∆ + ∆ + ∆ = num".

תוצאה זו מתקבלת בקלות בהסתמך על תוצאה חשובה נוספת שהוכיחו לגראנז' (ב-1798) וגאוס עצמו (ב-1801) – כל מספר שאינו מהצורה $\ 4^k(8m+7)$ הוא סכום של שלושה ריבועים או פחות.

נציג את $\ n$ כסכום של שלושה מספרים משולשיים. ראשית נבחין כי $\ 8n+3$ אינו מהצורה הבעייתית, כי $4^k(8m+7) \equiv 0, 4, 7 \not\equiv 3 \pmod8$. נציג אותו כסכום של שלושה ריבועים $\ 8n+3 = a^2+b^2+c^2$ (חלקם אולי 0). נבחן את השוויון מודולו 4. 0 ו-1 הם השאריות הריבועיות מודולו 4, כלומר $\ x^2 \equiv 0, 1 \pmod4$. מצד שני $\ a^2+b^2+c^2 = 8n+3 \equiv 3 \pmod4$. לכן בהכרח $\ a^2 \equiv b^2 \equiv c^2 \equiv 1 \pmod4$. כלומר $\ a, b, c$ כולם אי-זוגיים. לכן לפי התכונה שהוכחה קודם, קיימים $\ i, j, k$ כך ש-$\ 8T_i+1 = a^2, 8T_j+1 = b^2, 8T_k+1 = c^2$ (לשם הנוחות מגדירים $\ T_0 = 0$). נציב בשוויון ונקבל:

$\ 8n+3 = 8T_i+1 + 8T_j+1 + 8T_k+1 \implies n = T_i+T_j+T_k$

וקיבלנו את ההצגה המבוקשת. במקרים בהם אחד המספרים בהצגה הוא $\ T_0 = 0$, ניתן להיפטר ממנו, ולקבל הצגה עם פחות משלושה מחוברים.

משפט המספרים המצולעים שהוכיח קושי ב-1813 הוא הכללה מרחיקת לכת של התוצאה האחרונה. המשפט קובע שכל מספר טבעי ניתן להצגה כסכום של s מספרים מצולעים מסדר s. התוצאה של גאוס היא המקרה s=3, ואילו משפט ארבעת הריבועים של לגראנז' הוא המקרה s=4.

ראו גם

• עצרת - האנלוג הכפלי של מספרים משולשיים

קישורים חיצוניים

• מספר משולשי, באתר MathWorld (באנגלית)