מספר משולשי

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
ששת המספרים המשולשיים הראשונים

בתורת המספרים, מספר טבעי \ T נקרא מספר משולשי אם אפשר לסדר \ T עצמים בצורת משולש שווה צלעות. המספרים המשולשיים הראשונים הם 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45.

המספר המשולשי ה-n-י מסומן \ T_n. הוא שווה לסכום כל המספרים הטבעיים מ-1 עד n.

תוכן עניינים

[עריכה] נוסחה מפורשת

ישנה נוסחה מפורשת הנותנת את המספרים המשולשיים: \ T_n = \frac{n(n+1)}2. אל נוסחה זו ניתן להגיע בדרכים רבות. הנוסחה הייתה ידועה כבר לפיתגורס במאה ה-6 לפנה"ס.

[עריכה] סכום סדרה חשבונית

הדרך הידועה ביותר להוכחת הנוסחה היא בעזרת הנוסחה הידועה לסכום סדרה חשבונית. \ T_n הוא סכום סדרה בת n איברים שאיברה הראשון הוא 1 והפרשה 1. לכן לפי הנוסחה:

\ T_n = 1+2+3+\ldots+n = \frac{n(n+1)}2

אגדה ידועה מספרת שכאשר גאוס היה בן 7, הטיל עליו מורהו את המטלה לסכום את כל המספרים מ-1 עד 100 (כלומר לחשב את \ T_{100}). תוך שניות מעטות הדהים גאוס את המורה והגיע לתשובה, 5050. גאוס הבין כי ניתן לסדר את המספרים בזוגות: 1+100, 2+99, 3+98... וכן הלאה, כך שישנם \ \tfrac{100}2 זוגות שסכומם 101. כלומר:

\ T_{100} = 1+2+3+\ldots+98+99+100 = \frac{100(100+1)}2 = 5050

הטיעון של גאוס הוא למעשה ההוכחה לתקפות הנוסחה לסכום של סדרה חשבונית.

[עריכה] מקדם בינומי

נניח וישנה קבוצה עם n+1 עצמים. נשאלת השאלה כמה דרכים אפשריות יש לבחור מביניהם זוג עצמים. נספור אותם באופן הבא: נבחר עצם אחד. ישנם n עצמים אחרים בקבוצה שעם כל אחד מהם הוא יוצר זוג. נכלול אותם בספירה שלנו ונוציא את העצם מהקבוצה. נבחר עצם שני. נשארו n-1 עצמים בקבוצה שעם כל אחד מהם הוא יוצר זוג. נכלול אותם בספירה ונוציא את העצם מהקבוצה. לעצם השלישי יהיו רק n-2 אפשרויות. נכלול אותן ונוציאו, וכן הלאה, עד שנגיע לאיבר האחרון בקבוצה שיהיו לו 0 אפשרויות ליצירת זוגות. בסך הכל קיבלנו שמספר הזוגות האפשריים הוא:

\ n+(n-1)+\ldots+2+1+0 = T_n

מצד שני ישנה דרך אחרת לספור את מספר הזוגות האפשריים. נבחר עצם כלשהו (יש n+1 אפשרויות לעשות זאת) ונוציאו מהקבוצה, ואז נבחר לו עצם שני כבן זוג (יש n דרכים לעשות זאת). סך הכל, לפי עקרון הכפל, ישנן n(n+1) דרכים לבחור שני עצמים בדרך זו. עם זאת נשים לב כי בשיטה זו ספרנו בנפרד את המקרה בו בוחרים קודם עצם a ואז עצם b, ואת המקרה בו בוחרים קודם את b ואז את a. לכן קיבלנו כל זוג אפשרי פעמיים ועלינו לחלק ב-2. נקבל בסך הכל שמספר הדרכים לבחור זוגות הוא \frac{n(n+1)}2.

מכיוון ששתי הדרכים לספור את הזוגות צריכות לתת תוצאה זהה, קיבלנו שוויון בין התוצאה בשיטה הראשונה לתוצאה בשיטה השנייה. לכן:

\ T_n = \frac{n(n+1)}2

הבעיה של מציאת מספר הזוגות האפשריים מתוך קבוצה עם n+1 עצמים היא מקרה פרטי של בעיה כללית יותר של מציאת מספר הקבוצות בנות k עצמים מתוך קבוצה עם m עצמים. תוצאה בסיסית בקומבינטוריקה קובעת שמספר הדרכים לבחור k עצמים מתוך קבוצה של m עצמים נתונה על ידי המקדם הבינומי  \tbinom mk (הוכחה לכך נתונה כאן). ובפרט מספר הדרכים לבחור זוגות מתוך קבוצה של n+1 איברים היא  \tbinom {n+1}2 .

לכן כל מספר משולשי שווה למקדם הבינומי הנ"ל. בעזרת הנוסחה לחישוב מקדם בינומי נקבל את הנוסחה למספר משולשי:

\ T_n = \binom {n+1}2 = \frac{(n+1)!}{2!(n-1)!} = \frac{n(n+1)}2

[עריכה] הוכחה גאומטרית

מספר משולשי נתון גם על ידי נוסחת הנסיגה \ T_n = T_{n-1}+n. הצידוק לנוסחה פשוט: \ T_{n-1} הוא סכום המספרים מ-1 עד n-1. כדי לקבל ממנו את \ T_n שהוא סכום המספרים מ-1 עד n, כל מה שיש לעשות הוא להוסיף את n.

ההבחנה הבאה היא שמתקיימת הזהות \ T_n+T_{n-1} = n^2, שיש לה צידוק גאומטרי פשוט המודגם באיור (ככל הידוע, הראשון להבחין בזהות הוא ניקומאכוס בן המאה ה-1).

\ T_4+T_3 = 4^2
=

\ 10+6 = 16

Square number 16 as sum of two triangular numbers.svg     \ T_5+T_4 = 5^2
=

\ 15+10 = 25

Square number 25 as sum of two triangular numbers.svg

כפי שמודגם באיור, את \ T_n ואת \ T_{n-1} ניתן לסדר כשני משולשים שמשלימים זה את זה כך שהם יוצרים ריבוע עם צלע באורך n.

כעת ניתן להסיק את הנוסחה למספר משולשי:

\ n^2 = T_n+T_{n-1} = T_n+(T_n-n) = 2T_n - n

נעביר את n אגף ונחלק ב-2:

\ T_n = \frac{n^2+n}2 = \frac{n(n+1)}2

[עריכה] הוכחה באינדוקציה

בעזרת נוסחת הנסיגה \ T_n = T_{n-1}+n ניתן להוכיח באינדוקציה מתמטית את הנוסחה למספר משולשי בקלות. לעתים קרובות הדבר ניתן כדוגמה פשוטה לשימוש בשיטה.

בסיס האינדוקציה מתקיים: \ T_1 = \frac{1(1+1)}2 = 1.

נניח כי \ T_{n-1} = \frac{(n-1)n}2 ונוכיח כי \ T_n = \frac{n(n+1)}2:

\ T_n = T_{n-1}+n = \frac{(n-1)n}2+n = \frac{n^2-n}2+\frac{2n}2 = \frac{n^2+n}2 = \frac{n(n+1)}2

וההוכחה הושלמה.

[עריכה] תכונות

מאות תכונות שונות של מספרים משולשיים נחקרו במהלך השנים. להלן כמה תכונות מרכזיות:

  • לפי הנוסחה למספרים משולשיים, לכל מספר משולשי \ T_n מתקיים ש-\ 8T_n+1 = (2n+1)^2 הוא מספר ריבועי. גם ההיפך נכון. אם \ 0<k והמספר \ 8k+1 הוא מספר ריבועי, אז k הוא מספר משולשי. זאת משום ש-\ 8k+1 אי-זוגי, ולכן השורש שלו אי-זוגי, ומכאן שקיים n כך ש-\ 8k+1 = (2n+1)^2 = 8T_n+1.
  • ההפרש בין המספר המצולע ה-n-י מסדר s (זה המתאים למצולע עם s צלעות) למספר המצולע ה-n-י מסדר s-1 הוא המספר המשולשי \ T_{n-1}. הזהות \ n^2-T_n = T_{n-1} היא מקרה פרטי של הזהות הכללית.
  • יש אינסוף מספרים משולשיים שהם גם ריבועים, ואלו נקראים מספרים משולשיים ריבועיים. הדוגמה הקטנה ביותר, מלבד 1, היא 36.
  • סכום n המספרים המשולשיים הראשונים נקרא המספר הארבעוני ה-n-י, שכן ניתן לסדר את המשולשים במרחב התלת ממדי זה על גבי זה כך שנוצר ארבעון (פירמידה משולשת). ישנה נוסחה מפורשת למספרים ארבעוניים:
\ T_1+T_2+\ldots+T_n = \frac {n(n+1)(n+2)} {6}
\ 1^3+2^3+\ldots+n^3 = T_n^2 = (1+2+\ldots+n)^2
  • במשולש פסקל כל המספרים המשולשיים מופיעים באלכסון השלישי (מימין ומשמאל). תכונה זו נובעת מההצגה של המספרים המשולשיים כמקדמים בינומיים.
  • מתוך הנוסחה למספרים משולשיים מוכיחים את הזהויות:
    • \ T_{n+m} = T_n+T_m+nm
    • \ T_{nm} = T_nT_m+T_{n-1}T_{m-1}
\ \sum_{n=1}^\infty {\frac1{T_n}} = \sum_{n=1}^\infty {\frac1{\frac{n(n+1)}2}} = \sum_{n=1}^\infty {\frac2{n(n+1)}} = \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac {2}{n} - \frac {2}{n+1} \right) = 2

[עריכה] הצגת מספר כסכום של מספרים משולשיים

ב-10 ביולי 1796 גאוס הוכיח כי כל מספר טבעי ניתן להציג כסכום של שלושה מספרים משולשיים או פחות. הוא ציין הישג זה ביומנו בהערה תמציתית ומפורסמת: "ΕΥΡΗΚA! ∆ + ∆ + ∆ = num".

תוצאה זו מתקבלת בקלות בהסתמך על תוצאה חשובה נוספת שהוכיחו לגראנז' (ב-1798) וגאוס עצמו (ב-1801) – כל מספר שאינו מהצורה \ 4^k(8m+7) הוא סכום של שלושה ריבועים או פחות.

נציג את \ n כסכום של שלושה מספרים משולשיים. ראשית נבחין כי \ 8n+3 אינו מהצורה הבעייתית, כי  4^k(8m+7) \equiv 0, 4, 7 \not\equiv 3 \pmod8. נציג אותו כסכום של שלושה ריבועים \ 8n+3 = a^2+b^2+c^2 (חלקם אולי 0). נבחן את השוויון מודולו 4. 0 ו-1 הם השאריות הריבועיות מודולו 4, כלומר \ x^2 \equiv 0, 1 \pmod4. מצד שני \ a^2+b^2+c^2 = 8n+3 \equiv 3 \pmod4. לכן בהכרח \ a^2 \equiv b^2 \equiv c^2 \equiv 1 \pmod4. כלומר \ a, b, c כולם אי-זוגיים. לכן לפי התכונה שהוכחה קודם, קיימים \ i, j, k כך ש-\ 8T_i+1 = a^2, 8T_j+1 = b^2, 8T_k+1 = c^2 (לשם הנוחות מגדירים \ T_0 = 0). נציב בשוויון ונקבל:

\ 8n+3 = 8T_i+1 + 8T_j+1 + 8T_k+1 \implies n = T_i+T_j+T_k

וקיבלנו את ההצגה המבוקשת. במקרים בהם אחד המספרים בהצגה הוא \ T_0 = 0, ניתן להיפטר ממנו, ולקבל הצגה עם פחות משלושה מחוברים.

משפט המספרים המצולעים שהוכיח קושי ב-1813 הוא הכללה מרחיקת לכת של התוצאה האחרונה. המשפט קובע שכל מספר טבעי ניתן להצגה כסכום של s מספרים מצולעים מסדר s. התוצאה של גאוס היא המקרה s=3, ואילו משפט ארבעת הריבועים של לגראנז' הוא המקרה s=4.

[עריכה] ראו גם

  • עצרת - האנלוג הכפלי של מספרים משולשיים

[עריכה] קישורים חיצוניים

כלים אישיים

גרסאות שפה
מרחבי שם
פעולות
ניווט
קהילה
תיבת כלים
דף זה בשפות אחרות
הדפסה/יצוא