מרחב (CAT(k

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

במתמטיקה, מרחבי (CAT(k הם מרחבים מטריים מטיפוס מיוחד: המשולשים שלהם "דקים" יותר ממשולשי-ההשוואה במרחב סטנדרטי בעל עקמומיות קבועה k. העקמומיות של מרחבי \ \mbox{CAT}(k) היא לכל היותר k בכל נקודה. את המונח \ \mbox{CAT}(k) טבע מיכאיל גרומוב ב-1987, כראשי-תיבות של המתמטיקאים אלי קרטן (C), אלכסנדר אלכסנדרוב (A) וויקטור אנדרייביץ' טופונוגוב (T).

ההפרדה האמיתית היא בין המקרים k<0, k=0 ו- k>0, מכיוון שמרחבי \ \mbox{CAT}(k) אפשר לכייל למרחבי \ \mbox{CAT}(k') אם לשני הפרמטרים k ו- 'k אותו סימן. מרחבי (CAT(0 שלמים קרויים גם "מרחבי הדמר", על-שם המתמטיקאי הצרפתי ז'אק הדמר.

הגדרות[עריכת קוד מקור | עריכה]

מרחבי המודל[עריכת קוד מקור | עריכה]

עבור מספר ממשי k, מסמנים ב- \ M_k את המשטח היחיד שהוא פשוט קשר בעל עקמומיות קבועה k. לדוגמה, \ M_0 הוא המישור האוקלידי \ \mathbb{R}^2 עם המטריקה הרגילה שלו; \ M_1 הוא ספירת היחידה במרחב האוקלידי התלת-ממדי, ו- \ M_{-1} הוא המישור ההיפרבולי.

אם k>0, הקוטר של המרחב הוא \ \frac{\pi}{\sqrt{k}} (אחרת הקוטר אינסופי).

משולשי השוואה[עריכת קוד מקור | עריכה]

נקבע k ממשי. נניח ש- X הוא מרחב מטרי ו- T משולש שקודקודיו p,q,r; אם k>0, נניח שקוטר המשולש אינו עולה על \ \frac{\pi}{\sqrt{k}}. אז קיים ב-\ M_k משולש יחיד, עד כדי איזומטריה, שבו המרחקים בין הקודקודים שווים לאלה של T. משולש זה נקרא משולש ההשוואה של T.

תנאי \ \mbox{CAT}(k)[עריכת קוד מקור | עריכה]

משולשים טיפוסיים במרחבים בעלי עקמומיות חיובית (למעלה) ,שלילית (באמצע) ואפס (למטה)

נניח ש-\ (X,d) הוא מרחב גאודזי, כלומר, מרחב מטרי שבו יש מסילה גאודזית המחברת כל שתי נקודות (מסילה גאודזית היא פונקציה \ \gamma : [a,b] \rightarrow X, כאשר \ [a,b] הוא קטע על הישר הממשי, והמרחק מקיים \ d(\gamma(t),\gamma(s)) = |t-s| לכל \ a\leq t \leq s\leq b). אומרים שמשולש גאודזי D במרחב X (משולש שצלעותיו הן מסילות גאודזיות המחברות את הקודקודים) מקיים את "תנאי \ \mbox{CAT}(k)", אם המרחק בין כל שתי נקודות על הצלעות של D קטן או שווה למרחק בין הנקודות המתאימות על משולש ההשוואה שלו, 'D במרחב \ M_k.

המרחב X נקרא מרחב \ \mbox{CAT}(k), אם כל משולש גאודזי (שקוטרו, אם k>0, אינו עולה על \ \frac{\pi}{\sqrt{k}}), מקיים את תנאי \ \mbox{CAT}(k). אומרים שמרחב מטרי (אפילו אם אינו גאודזי) הוא "בעל עקמומיות k לכל היותר", אם לכל נקודה שלו יש סביבה קמורה-גאודזית (סביבה הכוללת עם כל שתי נקודות גם קו גאודזי המחבר אותן), המקיימת את תנאי \ \mbox{CAT}(k). מרחב בעל עקמומיות 0 לכל היותר הוא "מרחב בעל עקמומיות שאינה חיובית".

התנאי \ \mbox{CAT}(k) הולך ומתחזק כאשר k מקבל ערכים נמוכים יותר: אם \ k<k', אז כל מרחב \ \mbox{CAT}(k) הוא גם מרחב \ \mbox{CAT}(k'). מאידך התכונה סגורה במובן הבא: מרחב שהוא \ \mbox{CAT}(k') לכל \ k<k', הוא גם \ \mbox{CAT}(k).

דוגמאות[עריכת קוד מקור | עריכה]

המרחב \ M_k הוא \ \mbox{CAT}(k).

המרחב האוקלידי \ \mathbb{E}^n (מכל ממד) הוא \ \mbox{CAT}(0). המרחב ההיפרבולי \ \mathbb{H}^n (מכל ממד) הוא \ \mbox{CAT}(-1). ספירת היחידה \ \mathbb{S}^n (בכל ממד) היא \ \mbox{CAT}(1) (אבל לא \ \mbox{CAT}(0)). ספירה ברדיוס r (ולכן מעקמומיות \ \frac{1}{\sqrt{r}}) היא \ \mbox{CAT}(\frac{1}{\sqrt{r}}). כל מרחב נורמי המקיים איזשהו תנאי \ \mbox{CAT}(k) הוא מרחב מכפלה פנימית.

אם מנקבים את המישור האוקלידי בנקודה, המרחב הנותר אינו גאודזי, ולכן אינו \ \mbox{CAT}(0). מאידך, לכל נקודה יש סביבה קמורה-גאודזית שהיא \ \mbox{CAT}(0), ולכן המישור המנוקב הוא מרחב בעל עקמומיות שאינה חיובית.

עץ הוא מרחב \ \mbox{CAT}(k) לכל k.

כל מרחב \ \mbox{CAT}(k), עבור k<0, הוא מרחב \ \mbox{CAT}(0). בפרט, מרחבים כאלו הם כוויצים.

תכונות של מרחבי \ \mbox{CAT}(k)[עריכת קוד מקור | עריכה]

יהי X מרחב \ \mbox{CAT}(k).

תכונות מקומיות[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • בין כל שתי נקודות (ממרחק שאינו עולה על \ \frac{\pi}{\sqrt{k}} אם k>0) מחברת מסילה גאודזית יחידה. יתרה מזו, המסילה משתנה באופן רציף עם שינוי נקודות הקצה שלה.
  • כל עקום (שאורכו אינו עולה על \ \frac{\pi}{\sqrt{k}} אם k>0), שהוא גאודזי-מקומית, הוא עקום גאודזי.
  • כדור פתוח (ברדיוס שאינו עולה על \ \frac{1}{2}\frac{\pi}{\sqrt{k}} אם k>0) הוא קמור-גאודזית.
  • כדורים (שרדיוסם אינו עולה על \ \frac{\pi}{\sqrt{k}} אם k>0) הם כוויצים.
  • נקודות שאינן רחוקות משני קצות קטע, קרובות לאמצע הקטע, במובן הבא: לכל a (שאינו עולה על \ \frac{\pi}{\sqrt{k}} אם k>0) ולכל \ \epsilon>0 קיים \ \delta>0, כך שאם m היא נקודת האמצע של העקום הגאודזי המחבר את הנקודות x ו-y, אז כל נקודה שמרחקה מ-x ומ-y אינו עולה על \ \frac{1}{2}d(x,y)+\delta, נמצאת במרחק \ \epsilon לכל היותר מ-m.

מרחב הכיסוי האוניברסלי[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • מתכונות אלה נובע שאם \ k\leq 0, מרחב הכיסוי האוניברסלי של מרחב \ \mbox{CAT}(k) הוא כוויץ. בפרט, חבורות ההומוטופיה, מן השנייה ואילך, הן טריוויאליות. הספירות \ \mathbb{S}^n מראות שתכונות אלה אינן מתקיימות כאשר k>0. למעשה, מרחב הכיסוי האוניברסלי של כל מרחב בעל עקמומיות שאינה עולה על k (כאשר k שלילי) הוא מרחב \ \mbox{CAT}(k).

היפרבוליות[עריכת קוד מקור | עריכה]

כל מרחב \ \mbox{CAT}(k) (עבור \ k<0) הוא מרחב היפרבולי. מרחב \ \mbox{CAT}(0) הוא היפרבולי אם ורק אם אין לו תת-מרחב איזומטרי למישור האוקלידי \ \mathbb{R}^2 (עם המטריקה הרגילה).

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]