מרחב (CAT(k

במתמטיקה, מרחבי (CAT(k הם מרחבים מטריים מטיפוס מיוחד: המשולשים שלהם "דקים" יותר ממשולשי-ההשוואה במרחב סטנדרטי בעל עקמומיות קבועה k. העקמומיות של מרחבי $\ \mbox{CAT}(k)$ היא לכל היותר k בכל נקודה. את המונח $\ \mbox{CAT}(k)$ טבע מיכאיל גרומוב ב-1987, כראשי-תיבות של המתמטיקאים אלי קרטן (C), אלכסנדר אלכסנדרוב (A) וויקטור אנדרייביץ' טופונוגוב (T).

ההפרדה האמיתית היא בין המקרים k<0, k=0 ו- k>0, מכיוון שמרחבי $\ \mbox{CAT}(k)$ אפשר לכייל למרחבי $\ \mbox{CAT}(k')$ אם לשני הפרמטרים k ו- 'k אותו סימן. מרחבי (CAT(0 שלמים קרויים גם "מרחבי הדמר", על-שם המתמטיקאי הצרפתי ז'אק הדמר.

הגדרות

מרחבי המודל

עבור מספר ממשי k, מסמנים ב- $\ M_k$ את המשטח היחיד שהוא פשוט קשר בעל עקמומיות קבועה k. לדוגמה, $\ M_0$ הוא המישור האוקלידי $\ \mathbb{R}^2$ עם המטריקה הרגילה שלו; $\ M_1$ הוא ספירת היחידה במרחב האוקלידי התלת-ממדי, ו- $\ M_{-1}$ הוא המישור ההיפרבולי.

אם k>0, הקוטר של המרחב הוא $\ \frac{\pi}{\sqrt{k}}$ (אחרת הקוטר אינסופי).

משולשי השוואה

נקבע k ממשי. נניח ש- X הוא מרחב מטרי ו- T משולש שקודקודיו p,q,r; אם k>0, נניח שקוטר המשולש אינו עולה על $\ \frac{\pi}{\sqrt{k}}$. אז קיים ב-$\ M_k$ משולש יחיד, עד כדי איזומטריה, שבו המרחקים בין הקודקודים שווים לאלה של T. משולש זה נקרא משולש ההשוואה של T.

תנאי $\ \mbox{CAT}(k)$

משולשים טיפוסיים במרחבים בעלי עקמומיות חיובית (למעלה) ,שלילית (באמצע) ואפס (למטה)

נניח ש-$\ (X,d)$ הוא מרחב גאודזי, כלומר, מרחב מטרי שבו יש מסילה גאודזית המחברת כל שתי נקודות (מסילה גאודזית היא פונקציה $\ \gamma : [a,b] \rightarrow X$, כאשר $\ [a,b]$ הוא קטע על הישר הממשי, והמרחק מקיים $\ d(\gamma(t),\gamma(s)) = |t-s|$ לכל $\ a\leq t \leq s\leq b$). אומרים שמשולש גאודזי D במרחב X (משולש שצלעותיו הן מסילות גאודזיות המחברות את הקודקודים) מקיים את "תנאי $\ \mbox{CAT}(k)$", אם המרחק בין כל שתי נקודות על הצלעות של D קטן או שווה למרחק בין הנקודות המתאימות על משולש ההשוואה שלו, 'D במרחב $\ M_k$.

המרחב X נקרא מרחב $\ \mbox{CAT}(k)$, אם כל משולש גאודזי (שקוטרו, אם k>0, אינו עולה על $\ \frac{\pi}{\sqrt{k}}$), מקיים את תנאי $\ \mbox{CAT}(k)$. אומרים שמרחב מטרי (אפילו אם אינו גאודזי) הוא "בעל עקמומיות k לכל היותר", אם לכל נקודה שלו יש סביבה קמורה-גאודזית (סביבה הכוללת עם כל שתי נקודות גם קו גאודזי המחבר אותן), המקיימת את תנאי $\ \mbox{CAT}(k)$. מרחב בעל עקמומיות 0 לכל היותר הוא "מרחב בעל עקמומיות שאינה חיובית".

התנאי $\ \mbox{CAT}(k)$ הולך ומתחזק כאשר k מקבל ערכים נמוכים יותר: אם $\ k<k'$, אז כל מרחב $\ \mbox{CAT}(k)$ הוא גם מרחב $\ \mbox{CAT}(k')$. מאידך התכונה סגורה במובן הבא: מרחב שהוא $\ \mbox{CAT}(k')$ לכל $\ k<k'$, הוא גם $\ \mbox{CAT}(k)$.

דוגמאות

המרחב $\ M_k$ הוא $\ \mbox{CAT}(k)$.

המרחב האוקלידי $\ \mathbb{E}^n$ (מכל ממד) הוא $\ \mbox{CAT}(0)$. המרחב ההיפרבולי $\ \mathbb{H}^n$ (מכל ממד) הוא $\ \mbox{CAT}(-1)$. ספירת היחידה $\ \mathbb{S}^n$ (בכל ממד) היא $\ \mbox{CAT}(1)$ (אבל לא $\ \mbox{CAT}(0)$). ספירה ברדיוס r (ולכן מעקמומיות $\ \frac{1}{\sqrt{r}}$) היא $\ \mbox{CAT}(\frac{1}{\sqrt{r}})$. כל מרחב נורמי המקיים איזשהו תנאי $\ \mbox{CAT}(k)$ הוא מרחב מכפלה פנימית.

אם מנקבים את המישור האוקלידי בנקודה, המרחב הנותר אינו גאודזי, ולכן אינו $\ \mbox{CAT}(0)$. מאידך, לכל נקודה יש סביבה קמורה-גאודזית שהיא $\ \mbox{CAT}(0)$, ולכן המישור המנוקב הוא מרחב בעל עקמומיות שאינה חיובית.

עץ הוא מרחב $\ \mbox{CAT}(k)$ לכל k.

כל מרחב $\ \mbox{CAT}(k)$, עבור k<0, הוא מרחב $\ \mbox{CAT}(0)$. בפרט, מרחבים כאלו הם כוויצים.

תכונות של מרחבי $\ \mbox{CAT}(k)$

יהי X מרחב $\ \mbox{CAT}(k)$.

תכונות מקומיות

• בין כל שתי נקודות (ממרחק שאינו עולה על $\ \frac{\pi}{\sqrt{k}}$ אם k>0) מחברת מסילה גאודזית יחידה. יתרה מזו, המסילה משתנה באופן רציף עם שינוי נקודות הקצה שלה.
• כל עקום (שאורכו אינו עולה על $\ \frac{\pi}{\sqrt{k}}$ אם k>0), שהוא גאודזי-מקומית, הוא עקום גאודזי.
• כדור פתוח (ברדיוס שאינו עולה על $\ \frac{1}{2}\frac{\pi}{\sqrt{k}}$ אם k>0) הוא קמור-גאודזית.
• כדורים (שרדיוסם אינו עולה על $\ \frac{\pi}{\sqrt{k}}$ אם k>0) הם כוויצים.
• נקודות שאינן רחוקות משני קצות קטע, קרובות לאמצע הקטע, במובן הבא: לכל a (שאינו עולה על $\ \frac{\pi}{\sqrt{k}}$ אם k>0) ולכל $\ \epsilon>0$ קיים $\ \delta>0$, כך שאם m היא נקודת האמצע של העקום הגאודזי המחבר את הנקודות x ו-y, אז כל נקודה שמרחקה מ-x ומ-y אינו עולה על $\ \frac{1}{2}d(x,y)+\delta$, נמצאת במרחק $\ \epsilon$ לכל היותר מ-m.

מרחב הכיסוי האוניברסלי

• מתכונות אלה נובע שאם $\ k\leq 0$, מרחב הכיסוי האוניברסלי של מרחב $\ \mbox{CAT}(k)$ הוא כוויץ. בפרט, חבורות ההומוטופיה, מן השנייה ואילך, הן טריוויאליות. הספירות $\ \mathbb{S}^n$ מראות שתכונות אלה אינן מתקיימות כאשר k>0. למעשה, מרחב הכיסוי האוניברסלי של כל מרחב בעל עקמומיות שאינה עולה על k (כאשר k שלילי) הוא מרחב $\ \mbox{CAT}(k)$.

היפרבוליות

כל מרחב $\ \mbox{CAT}(k)$ (עבור $\ k<0$) הוא מרחב היפרבולי. מרחב $\ \mbox{CAT}(0)$ הוא היפרבולי אם ורק אם אין לו תת-מרחב איזומטרי למישור האוקלידי $\ \mathbb{R}^2$ (עם המטריקה הרגילה).

ראו גם

• מרחב (CAT(0