מרחב מכפלה פנימית

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

באלגברה לינארית, מרחב מכפלה פנימית הוא מרחב וקטורי, עבורו מוגדרת פעולה בינארית בין כל שני איברים במרחב, המכונה מכפלה פנימית. בעזרתה של מכפלה זו, ניתן להכליל מושגים של אורך ושל זווית.

הגדרה פורמלית[עריכת קוד מקור | עריכה]

יהי \, V מרחב וקטורי מעל השדה \mathbb{F}, כאשר \mathbb{F} הוא שדה המספרים הממשיים או שדה המספרים המרוכבים. פונקציה  \langle \cdot, \cdot \rangle : V \times V \rightarrow \mathbb{F} תיקרא מכפלה פנימית על המרחב אם היא מקיימת את התכונות הבאות:

  • אדיטיביות ברכיב הראשון:

\forall a,b,c\isin V:\langle a+b,c\rangle= \langle a,c\rangle + \langle b,c\rangle

  • הומוגניות ברכיב הראשון:

\forall a,b\isin V,\lambda\isin \mathbb{F}:\langle \lambda a,b\rangle= \lambda \langle a,b\rangle

\forall x,y\in V,\ \langle x,y\rangle =\overline{\langle y,x\rangle}

  • חיוביות לחלוטין (אי-שליליות וממשיות):

 \forall x \in V \ \langle x,x\rangle\ge 0 ושוויון קיים אם ורק אם \ x=0

נשים לב לכמה דברים:

  • תכונת החיוביות דורשת שמכפלת וקטור בעצמו תהיה ניתנת להשוואה על ידי יחס סדר. על המרוכבים לא מוגדר יחס סדר שכזה, אלא רק על הממשיים, מכאן שעל המכפלה הזו להחזיר תמיד מספר ממשי. תכונת ההרמיטיות מבטיחה זאת:
\langle x,x\rangle =\overline{\langle x,x\rangle} פירושו כי \langle x,x\rangle הוא מספר ממשי.
  • האדיטיביות ניתנת להכללה באמצעות ההרמיטיות גם לרכיב השני. לעומת זאת ההומוגניות תישמר רק עד כדי צמוד מרוכב - כאשר מוציאים סקלר מהרכיב השני במכפלה הפנימית, יש להצמיד אותו:
\langle x,\lambda y\rangle =\overline{\lambda}\langle x,y\rangle
  • מהאדיטיביות נובע כי תמיד מתקיים: \langle 0,0\rangle = 0

מרחב וקטורי עם מכפלה פנימית ייקרא מרחב מכפלה פנימית.

שימושים[עריכת קוד מקור | עריכה]

בעזרת המכפלה הפנימית אפשר, בין היתר, להגדיר את מושג הנורמה המהווה הכללה של האורך מהמרחב האוקלידי: נורמה מוגדרת כגודל \|x\|=\sqrt{\langle x,x\rangle} (שימו לב שבזכות תכונת החיוביות גודל זה הוא תמיד ממשי).

ניתן גם להכליל את מושג הניצבות: שני וקטורים הם אורתוגונליים אם ורק אם המכפלה הפנימית שלהם שווה 0: \langle x,y\rangle = 0 ומסמנים \,x\perp y. ביתר כלליות, ניתן להגדיר זווית בין וקטורים בצורה הבאה: \operatorname{angle}(x,y) = \arccos \frac{\langle x, y \rangle}{\|x\| \cdot \|y\|}. ניתן להראות שהארכקוסינוס תמיד מוגדר בעזרת אי-שוויון קושי-שוורץ.

הכללה של מרחב מכפלה פנימית הוא מרחב הילברט. זהו מרחב מכפלה פנימית שהוא גם מרחב טופולוגי שלם ביחס למטריקה המושרית מהמכפלה הפנימית (כלומר: d(x,y) = \sqrt{ \langle x - y , x - y \rangle }).

דוגמאות למכפלות פנימיות[עריכת קוד מקור | עריכה]

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]