משוואת האגן-פואזיי

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
Gnome-edit-clear.svg ערך זה זקוק לעריכה: ייתכן שהערך סובל מפגמים טכניים כגון מיעוט קישורים פנימיים, סגנון טעון שיפור או צורך בהגהה, או שיש לעצב אותו.
אתם מוזמנים לסייע ולתקן את הבעיות, אך אנא אל תורידו את ההודעה כל עוד לא תוקן הדף. אם אתם סבורים כי אין בדף בעיה, ניתן לציין זאת בדף השיחה.

משוואת האגן-פואזיי (Hagen–Poiseuille) היא משוואה פיזיקלית-הנדסית במכניקת זורמים המתארת את ירידת הלחץ בזורם הזורם דרך צינור גלילי אופקי.

הנחות[עריכת קוד מקור | עריכה]

ההנחות לקיום המשוואה הן:

  1. זורם בלתי דחיס
  2. זורם ניוטוני
  3. זרימה שכבתית
  4. הזרימה היא דרך צינור בעל אורך שגדול באופן משמעותי מקוטר הצינור.
  5. תאוצת הזורם שווה לאפס (כל אחת משכבות הזורם - זורמת במהירות קבועה).

במקרים בהם ההנחות לא מתקיימות, למשל: אורך צינור קצר מידי, זרימה טורבולנטית ולא למינארית, וכדומה, ירידת הלחץ תהיה שונה משמעותית מירידת הלחץ המחושבת על ידי המשוואה.

משוואת האגן-פואזיי[עריכת קוד מקור | עריכה]

ירידת הלחץ מחושבת על ידי הנוסחה:

\Delta P=\frac{8 \boldsymbol{\mu}LQ}{\pi r^4}

כאשר:

  • \Delta P - הפרש הלחץ (ירידת הלחץ)
  • \mathbf{L} - אורך הצינור
  • \boldsymbol{\mu} - צמיגות הזורם
  • \mathbf{Q} - ספיקה
  • \mathbf{r} - רדיוס הצינור

הערה חשובה: המשוואה לא נכונה עבור מרחק קרוב לכניסת הצינור, בגלל תופעות מעבר הקיימות באזור זה.

פיתוח המשוואה[עריכת קוד מקור | עריכה]

נתייחס לצינור בצורת גליל (תמונה מספר 1) ונסתכל על שכבת זורם קטנה באורך L.

צינור גלילי - תמונה מספר 1

הכוחות הפועלים הם: כוחות לחץ וכוחות גזירה, כמסומן.

לחץ:

על חתך הטבעת בנקודה Z=0:

(2\pi r\Delta r)P_0

ועל חתך הטבעת בנקודה Z=L:

-(2\pi r\Delta r)P_L

גזירה:

כוח הגזירה הפועל על הטבעת הפנימית:

(2\pi rL \tau _r)|_r

כוח הגזירה שהטבעת החיצונית מפעילה על שכבת הנוזל הבאה איתה במגע:

-(2\pi rL \tau _r)|_{r+\Delta r}

חיבור הכוחות והשוואה לאפס:

(2\pi r\Delta r)P_0-(2\pi r\Delta r)P_L+(2\pi rL \tau _r)|_r-(2\pi rL \tau _r)|_{r+\Delta r}=0

מכאן, נקבל כי:

r \tau _r|_{r+\Delta r}-r \tau _r|_{r}= \frac{r\Delta r\Delta P}{L}

כלומר:

\frac{d(r\tau)}{dr}\Delta r=\frac{r\Delta r\Delta P}{L}

נבצע אינטגרל ונקבל:

r\tau=\frac{r^2\Delta P}{2L}+C_1

ניתן להזניח את הקבוע (C_1=0), ולקבל:

\tau=\frac{r\Delta P}{2L} (*)

עבור זורם ניוטוני (הנחה מספר 2):

הנוסחה עבור מאמץ הגזירה בין שני לוחות: \tau =-\mu \frac{dv}{dx}

ובהתאמה, עבור צינור או גליל: \tau =-\mu \frac{dv}{dr}

נשווה למשוואה (*):

\tau =-\mu \frac{dv}{dr}=\frac{r\Delta P}{2L}

נכפול ב- -\frac{dr}{\mu} ונקבל:

dv=-\frac{\Delta P}{2L}rdr

נבצע אינטגרל ונקבל:

v=-\frac{\Delta P}{4L\mu}r^2+C_2 (**)

כדי למצוא את הקבוע C_2, נשתמש בתנאי השפה: v_{(r=R)}=0 - כלומר, על שפת הגליל, המהירות הזורם זהה לצינור הנייח, משמע- אפס.

נציב את תנאי השפה במשוואה (**) ונחלץ את C_2:

C_2=\frac{\Delta PR^2}{4L\mu}

כעת, נציב את C_2 חזרה למשוואה (**) ונקבל:

v_r=\frac{\Delta P}{4L\mu}(R^2-r^2) (***)

קיבלנו ביטוי פרבולי למהירות וניתן לראות כי הוא בהחלט תואם למצופה מזרימת פואזיי (תמונה מספר 2).

זרימה פרבולית בתוך הצינור - תמונה מספר 2

ניתן לראות מביטוי (***) כי המהירות המקסימלית מתקבלת במרכז, עבור r=0.

ניתן לוודא כי זוהי המהירות המקסימלית על ידי גזירת המשוואה:

\frac{dv}{dr}=-\frac{r\Delta P}{2L\mu}

וכאמור, עבור r=0, \frac{dv}{dr}=0- הנגזרת מתאפסת- והמשמעות היא שאכן המהירות המקסימלית נמצאת בנקודה זו.

חישוב ספיקה נפחית לנוזל ניוטוני:

כל אחת מטבעות הזורם בצינור נעה במהירות v_r.

כדי לחשב את הספיקה עלינו לחשב את הכפל בין שטח כל טבעת ומהירות הטבעת, ולסכום עבור כל הטבעות.

שטח של טבעת אינפיניטסימלית:

dA=\pi (r+dr)^2-\pi r^2=2\pi rdr+(dr)^2

וכיוון שהביטוי (dr)^2 קטן מאוד- נוכל להזניח אותו, ולקבל:

dA=2\pi rdr

כעת נחשב את הספיקה:

Q=\int dq= \int v_rdA=\int v2\pi rdr

נציב את משוואה (***) נפתור את האיטגרל בכל תחום הגליל, כלומר החל מ-r=0 ועד r=R:

Q=\int \limits_{0}^{R}\frac{\Delta P}{4L\mu}(R^2-r^2)2\pi rdr=\frac{\Delta P}{4L\mu}2\pi\bigg[\frac{R^2r^2}{2}-\frac{r^4}{4}\bigg]_{0}^{R}

מכאן:

Q=\frac{\pi \Delta P R^4}{8L\mu}

ואם נעביר אגפים, נקבל את "משוואת האגן-פואזיי":

\Delta P=\frac{8 \boldsymbol{\mu}LQ}{\pi r^4}