משוואת לפלס

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

משוואת לפלס היא משוואה דיפרנציאלית חלקית מהצורה \nabla^2 f = 0 כאשר \nabla^2 הוא אופרטור הלפלסיאן.

המשוואה קרויה על שם המתמטיקאי הצרפתי פייר סימון לפלס ויש לה שימושים רבים בפיזיקה. מהווה מקרה פרטי של משוואת פואסון.

פונקציה המקיימת את משוואת לפלס נקראת פונקציה הרמונית.

תכונות של משוואת לפלס בשני ממדים[עריכת קוד מקור | עריכה]

משוואת לפלס בשני ממדים בקואורדינטות קרטזיות היא:

\Delta f=\frac{\partial^2f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}=0

משוואת לפלס סימטרית במקרים הבאים:

  • ביחס להזזה של הצירים, כלומר אם \ u(x,y) הרמונית, גם \ u(x-a,y-b) הרמונית;
  • ביחס לסיבוב של הצירים, כלומר אם \ u(r,\theta) הרמונית, גם \ u(r,\theta+\gamma) הרמונית;
  • ביחס לנירמול המשתנים, כלומר אם \ u(x,y) הרמונית, גם \ u(\frac{x}{\delta},\frac{y}{\delta}) הרמונית.

כאשר \ a,b,\gamma,\delta כולם קבועים.

שימושים בפיזיקה[עריכת קוד מקור | עריכה]

משוואת לפלס מופיעה בתחומים שונים בפיזיקה, לדוגמה:

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]

P mathematics.svg ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה ופיזיקה. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולהרחיב אותו.