משוואת לפלס

משוואת לפלס היא משוואה דיפרנציאלית חלקית מהצורה $\nabla^2 f = 0$ כאשר $\nabla^2$ הוא אופרטור הלפלסיאן.

המשוואה קרויה על שם המתמטיקאי הצרפתי פייר סימון לפלס ויש לה שימושים רבים בפיזיקה. מהווה מקרה פרטי של משוואת פואסון.

פונקציה המקיימת את משוואת לפלס נקראת פונקציה הרמונית.

תכונות של משוואת לפלס בשני ממדים

משוואת לפלס בשני ממדים בקואורדינטות קרטזיות היא:

$\Delta f=\frac{\partial^2f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}=0$

משוואת לפלס סימטרית במקרים הבאים:

• ביחס להזזה של הצירים, כלומר אם $\ u(x,y)$ הרמונית, גם $\ u(x-a,y-b)$ הרמונית;
• ביחס לסיבוב של הצירים, כלומר אם $\ u(r,\theta)$ הרמונית, גם $\ u(r,\theta+\gamma)$ הרמונית;
• ביחס לנירמול המשתנים, כלומר אם $\ u(x,y)$ הרמונית, גם $\ u(\frac{x}{\delta},\frac{y}{\delta})$ הרמונית.

כאשר $\ a,b,\gamma,\delta$ כולם קבועים.

שימושים בפיזיקה

משוואת לפלס מופיעה בתחומים שונים בפיזיקה, לדוגמה:

• פוטנציאל חשמלי באזור ריק ממטענים, מקיים את משוואת לפלס.
• התפלגות הטמפרטורה של גוף במצב יציב מקיימת את משוואת לפלס.

ראו גם

• משוואות קושי-רימן
• פונקציה אנליטית
• משוואת פואסון

ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולהרחיב אותו.

ערך זה הוא קצרמר בנושא פיזיקה. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולהרחיב אותו.