משוואות קושי-רימן

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

באנליזה מרוכבת ואנליזה הרמונית, משוואות קושי-רימן הן צמד משוואות דיפרנציאליות חלקיות, שאותן מקיימים שני הרכיבים (הממשי והמרוכב) של כל פונקציה אנליטית מרוכבת. בכיוון ההפוך, אם הפונקציות הממשיות \ u(x,y),v(x,y) הן דיפרנציאביליות ומקיימות את המשוואות, אז \, f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y) היא פונקציה אנליטית. תנאי זה לאנליטיות של \ f נקרא תנאי קושי-רימן.

ניסוח פורמלי[עריכת קוד מקור | עריכה]

תהא \ f(z)=f(x+iy) פונקציה מרוכבת, אז ניתן לכתוב אותה כסכום של שתי פונקציות ממשיות \ u,v : \ f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y).

משוואות קושי-רימן הן שתי המשוואות הדיפרנציאליות הבאות:

\ (1) \quad \frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y} \quad ,(2) \quad \frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}


תנאי קושי-רימן[עריכת קוד מקור | עריכה]

תנאי קושי-רימן לגזירות מנוסח באופן הבא:
פונקציה \ f(z)=f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y) גזירה בנקודה \ z_0=x_0 + iy_0 אם ורק אם \ u(x,y) ו- \ v(x,y) דיפרנציאביליות בנקודה \ z_0=(x_0,y_0) ומשוואות (1) ו-(2) לעיל מתקיימות עבור \ (x_0,y_0).

משוואות (1) ו-(2) לעיל נובעות למעשה, ממשוואת קושי-רימן ההומוגנית:

 \frac{\partial f}{\partial x} + i \frac{\partial f}{\partial y} = 0

כך שאם נציב את \ u, v במשוואה האחרונה, נקבל את המשוואות הקודמות. ניסוח זה נוח במיוחד כאשר רוצים לבדוק את קיום תנאי קושי-רימן אצל פונקציות שקשה להפריד אותן לחלק ממשי ולחלק מדומה, למשל: \ f(z) = e^{\frac {1}{z}}.

כמו כן, אם נשתמש בקשרים \ x=\frac{1}{2}(z+\bar{z}), y=\frac{1}{2i}(z-\bar{z}) ונפעיל את כלל השרשרת על משוואת קושי-רימן ההומוגנית, נקבל את התנאי  \frac {\partial f}{\partial \bar{z}} = 0, שהוא בפני עצמו מעיד על אנליטיות של פונקציה. כלומר אם הנגזרת של f לפי z-צמוד מתאפסת רק בנקודות מסוימות, אנחנו כבר יודעים שהפונקציה f היא אנליטית אך ורק בנקודות אלה. בנוסף, אם \ f=u+iv היא אנליטית, אז גם \ g=-v+iu היא אנליטית. נשים לב שעם ההגדרה הנ"ל עבור \ x,y אנו יכולים להגדיר את אופרטורי הגזירה הבאים:

\ \frac{\partial}{\partial\bar{z}}=\frac{1}{2}(\frac{\partial}{\partial x}+i\frac{\partial}{\partial y}) \quad,\quad \frac{\partial}{\partial z}=\frac{1}{2}(\frac{\partial}{\partial x}-i\frac{\partial}{\partial y})

ובדרך זו אנו מקבלים ביטוי לאופרטור לפלס בשני משתנים: \ 4\frac{\partial ^2}{\partial z \partial\bar{z}}=\Delta.

כלומר, פונקציה מרוכבת המקיימת את משוואות קושי-רימן בנקודה מסוימת מקיימת את משוואת לפלס באותה נקודה.

ממשוואות קושי-רימן ניתן להסיק כי קווי הגובה של הפונקציות \ u,v הם אורתוגונליים, כי המכפלה הסקלרית של הגרדיאנטים של \ u,v מתאפסת:
 \nabla u \cdot \nabla v = u_x v_x + u_y v_y = - u_x u_y + u_y u_x = 0

מהוכחת משוואות קושי-רימן ניתן גם לקבל את ערך הנגזרת של הפונקציה. בשל הקשר בין הנגזרות החלקיות שבא לידי ביטוי במשוואות קושי-רימן, די בשתיים מהנגזרות החלקיות כדי לבטא את הנגזרת בשלמותה. ביטוי אחד לנגזרת הוא \ f'(z)=u_x+iv_x.
כמו כן, אם נתונה לנו למשל הפונקציה u והיא הרמונית בתחום מסוים, אז ניתן לקבל על ידי משוואות קושי-רימן את הפונקציה v, שתיקרא ההרמונית הצמודה של u, ולכן נוכל לקבל גם את הפונקציה f, שתהיה אנליטית בתחום ההרמוניות של u ו-v.

הוכחה[עריכת קוד מקור | עריכה]

הוכחת הכרחיות[עריכת קוד מקור | עריכה]

נוכיח כי אם פונקציה מרוכבת גזירה, אז היא מקיימת את משוואות קושי רימן.

תהא \ f(z)=u(x,y)+iv(x,y) גזירה בנקודה \ z_0. אז מתקיים \ f'(z)=\lim_{\Delta z\rarr 0}\frac{f(z_0+\Delta z)-f(z_0)}{\Delta z} לכל כיוון שבו נבחר להשאיף את \ \Delta z לנקודה \ z_0.

בפרט יתקיים השוויון אם נבחר \ \Delta z=\Delta x, כלומר אנו נעים כאשר קוארדינטת \ y שלנו קבועה. כלומר מתקיים:

\ f'(z)=\lim_{\Delta x\rarr 0}\frac{f(z_0+\Delta x)-f(z_0)}{\Delta x}=



=
\lim_{\Delta x\rarr 0}\frac{u(x_0+\Delta x,y_0)-u(x_0,y_0)}{\Delta x}+\lim_{\Delta x\rarr 0}i\frac{v(x_0+\Delta x,y_0)-v(x_0,y_0)}{\Delta x}=

u_x(x_0,y_0)+iv_x(x_0,y_0)


כלומר, קיבלנו:

\ f'(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}.

כמו כן יתקיים השוויון אם נבחר \ \Delta z=i\Delta y, כלומר אנו נעים כאשר קוארדינטת \ x שלנו קבועה. כלומר מתקיים:


\ f'(z)=\lim_{\Delta y\rarr 0}\frac{f(z_0+i\Delta y)-f(z_0)}{i\Delta y}=



=
\lim_{\Delta y\rarr 0}\frac{u(x_0,y_0+\Delta y)-u(x_0,y_0)}{i\Delta y}+\lim_{\Delta y\rarr 0}i\frac{v(x_0,y_0+\Delta y)-v(x_0,y_0)}{i\Delta y}=

-iu_y(x_0,y_0)+v_y(x_0,y_0)


כלומר, קיבלנו:

\ f'(z)=-i\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial y}.

נשווה את שתי התוצאות שקיבלנו:

\ \frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}=-i\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial y}

מהשוואת החלק הממשי נקבל את המשוואה \ \frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}.

מהשוואת החלק המדומה נקבל את המשוואה \ \frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}.

בכך הושלמה ההוכחה.

לקריאה נוספת[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • Ablowitz M. J. & Fokas A. S., Complex Variables: Introduction and Applications, Cambridge University Press, 1997


אנליזה מרוכבת

מספר מרוכבשדה המספרים המרוכביםפונקציה מרוכבתפונקציה הולומורפיתפונקציה שלמהנוסחת אוילרמשוואות קושי-רימןמשפט אינטגרל קושינוסחת אינטגרל קושימשפט ליובילהמשפט היסודי של האלגברהטור לורןסינגולריותקוטבמשפט השאריותעקרון הארגומנטמשפט רושה

אנליזה מתמטיתחשבון אינפיניטסימליאנליזה וקטוריתטופולוגיהאנליזה מרוכבתאנליזה פונקציונליתתורת המידה