פונקציה הרמונית

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

במתמטיקה ופיזיקה, פונקציה הרמונית היא פונקציה  \ f:U \to \mathbb{R} (כאשר  \ U היא קבוצה פתוחה ב- \ \mathbb{R}^n ) המקיימת את משוואת לפלס שהיא המשוואה הדיפרנציאלית החלקית:

 \ \frac{\partial ^2 f}{\partial x_1 ^2}+\frac{\partial ^2 f}{\partial x_2 ^2}+\cdots \frac{\partial ^2 f}{\partial x_n ^2}=0

פונקציה שעבורה אגף שמאל של המשוואה הוא אי שלילי בכל נקודה נקראת פונקציה תת-הרמונית, ופונקציה המקיימת שאגף שמאל של המשוואה הוא אי חיובי בכל נקודה נקראת פונקציה על הרמונית.

דוגמאות[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • פונקציה קבועה היא הרמונית.
  • כל נגזרת של פונקציה הרמונית היא הרמונית.
  • הפונקציה  \ f(x,y)=\ln (x^2 +y^2) היא פונקציה הרמונית של שני משתנים המוגדרת בכל נקודה במישור חוץ מהראשית.
  • אם  \ F:\mathbb{C} \to \mathbb{C} היא פונקציה הולומורפית אז ממשוואות קושי רימן נובע שהפונקציות  \ u=Re(F) , v=Im(F) הן פונקציות הרמוניות בשני משתנים. להפך, לכל פונקציה הרמונית בשני משתנים  \ u:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R} אפשר למצוא פונקציה  \ v:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R} כך שהפונקציה  \ u+iv היא הולומורפית. v כזו נקראת הצמודה ההרמונית של u. אם u מוגדרת על קבוצה פתוחה \Omega\subset \R^2, אזי לא מובטח שקיימת לה צמודה הרמונית בכל התחום, אלא רק באופן מקומי.
  • פוטנציאל של שדה חשמלי בנקודה שבה אין מטען חשמלי הוא פונקציה הרמונית בשלושה נעלמים. בדומה, פוטנציאל של שדה כבידה בנקודה בה אין מסה הוא פונקציה הרמונית.

תכונות[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • פונקציה הרמונית היא תמיד אנליטית (למרות שלצורך ההגדרה, נדרש שפונקציה הרמונית תהיה רק גזירה פעמיים בכל נקודה). תכונה זו נכונה למשפחה של משוואות דיפרנציאליות חלקיות שנקראות משוואות אליפטיות.
  • עקרון המקסימום טוען שפונקציה הרמונית בתחום  \ U מקבלת את ערכה המקסימלי על השפה של  \ U .
  • תכונת הערך הממוצע היא שהערך של פונקציה הרמונית בנקודה  \ x שווה לממוצע הערכים שלה על פני ספרה סביב  \ x . בסימונים, אם  \ u פונקציה הרמונית אז  \ u(x)=\frac{1}{vol_{n-1}(\partial B(x,r))}\int _{\partial B(x,r)}u(y)dy.
  • משפט ליוביל טוען שפונקציה הרמונית חסומה (למעשה מספיק שהפונקציה תהיה חסומה מאחד הכוונים) שמוגדרת על כל  \ \mathbb{R}^n היא קבועה.

מושגים קשורים[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • הלפלסיאן הוא האופרטור הדיפרנציאלי  \ \Delta = \frac{\partial ^2}{\partial x_1 ^2}+\frac{\partial ^2}{\partial x_2 ^2}+ \cdots +\frac{\partial ^2}{\partial x_n ^2} . פונקציה הרמונית, לכן, היא פונקציה המקיימת  \ \Delta f=0 .
  • בגאומטריה דיפרנציאלית מכלילים את הגדרת הלפלסיאן (ולכן את הגדרת ההרמוניות) עבור תבניות דיפרנציאליות מסדר גבוה מ-0 וגם ליריעות עם מטריקה לא שטוחה. הלפלסיאן המוכלל נקרא אופרטור לפלס-בלטרמי.
  • בתורת הגרפים מגדירים פונקציה הרמונית להיות פונקציה  \ f:V \to \mathbb{R} (כאשר  \ V היא קבוצת הקדקודים של גרף) המקיימת (באנלוגיה לתכונת ערך הבינים)  f(v)=\frac{1}{|\{ u | v \sim u\}|}\sum _{u\sim v}f(u) (כלומר, הערך של הפונקציה בקדקד מסוים שווה לממוצע הערכים של הפונקציה על השכנים של הקדקד).
  • בעיית דיריכלה שואלת באילו תנאים יש פונקציה הרמונית בתחום  \ U שצמצומה לשפה של  \ U הוא פונקציה נתונה.