משוואות תנועה

משוואות תנועה הן תיאור מתמטי להתנהגות של מערכות פיזיקליות המציגות את התנועה כתלות בזמן. כלומר, משוואות התנועה מתארות את אופי המערכת הפיזיקלית כאוסף של פונקציות מתמטיות של משתנים דינמיים. משתנים אלה הם בדרך כלל קואורדינטות במרחב ובזמן, ולעיתים יכללו משתנים נוספים, כדוגמת תנע או כוח. במקרה הכללי המשתנים עשוים להיות קואורדינטות מוכללות, המתארות את המערכת הפיזיקלית (למשל אנרגיה קינטית או תנע מוכלל). במכניקה הקלאסית, הפונקציות מוגדרות במרחב האוקלידי, ובתורת היחסות מופיעות בתור מרחבים עקומים. אם ידועה הדינמיקה של המערכת הפיזיקלית, המשוואות הן פתרון המשוואות דיפרנציאליות המתארות את הדינמיקה של המערכת.

דינמיקה וקינמטיקה

ישנן שתי דרכים עיקריות לתאר תנועה: דינמיקה וקינמטיקה. דינמיקה היא כללית, כיוון שהכוחות, התנעים והאנרגיה במערכת נלקחים בחשבון. לעיתים המונח דינמיקה מתייחס למשוואות הדיפרנציליות שמתארות את המערכת (כמו החוק השני של ניוטון או משוואות אוילר), ולעיתים מתייחס המונח לפתרונות של המשוואות הללו.

הקינמטיקה, בהיותה פשוטה בהרבה, כוללת רק משתני מיקום וזמן. כלומר הקינמטיקה מתארת רק את התנועה עצמה, מבלי להביא בחשבון את הכוחות שפועלים על המערכת הפיזיקלית. למשל, במקרה של תאוצה קבועה, משוואות התנועה הללו מכונות בדרך כלל משוואות "SUVAT", שפרוש שמן הוא:

• S - Displacement (העתק, מרחק)
• U - Intial Velocity (מהירות התחלתית)
• V - Final Velocity (מהירות סיום)
• A - Acceleration (תאוצה)
• T - Time (זמן)

מכאן, שמשוואות התנועה הן למעשה קבוצה תחת הערך תנועה. סוגי התנועה העיקריים הם סיבובים, פניות, תנודות, או כל שילוב של אלה. מבחינה היסטורית, משוואות תנועה התפתחו מהמכניקה הקלאסית והורחבו למכניקה שמיימית, על מנת לתאר את התנועה של אובייקטים כבדים. לאחר מכן, הן הופיעו באלקטרודינמיקה, לשם תיאור התנועה של גופים טעונים בשדות מגנטים וחשמליים. עם התקדמות תורת היחסות הכללית, המשוואות הקלאסיות של התנועה השתנו. בכל המקרים הללו המשוואות הדיפרנציאליות תוארו על ידי קואורדינטות של מקום וזמן, שהושפעו מכוחות או שינויי אנרגיה.

גם המשוואות של מכניקת הקוונטים יכולות להיחשב כ"משוואות תנועה", כיוון שהן משוואות דיפרנציאליות של פונקציית הגל, המתארות את התפתחות המצב הקוונטי כפונקציה של הזמן והמקום.

אופן השימוש במשוואות

משוואות התנועה בדרך כלל כוללות:

1. משוואה דיפרנציאלית של תנועה, בדרך כלל באמצעות חוקים פיזיקליים ושימוש בקבועים פיזיקליים.
2. בחירת הצירים ובחירת נקודת האפס.
3. פונקציה של המיקום או התנע יחד עם הזמן, שמתארת את הדינמיקה של המערכת.
4. פתרון המשוואה הדיפרנציאלית תוך שימוש בתנאי התחלה (או תנאי שפה).

המשוואה הדפרנציאלית היא בדרך כלל תיאור כללי של הנחה, ולעיתים מותאמת באופן ספציפי למצב מסוים. הפתרון, אם כן, מתאר בדיוק כיצד המערכת תתנהג בכל הפעמים שלאחר המצב ההתחלתי, בהתאם לתנאים המוגדרים.

מכניקה ניוטונית

ערך מורחב – חוקי התנועה של ניוטון

משוואת התנועה הכללית הראשונה שפותחה היא החוק השני של ניוטון. לפיו, קצב השינוי של התנע של גוף שווה לכוח הפועל עליו, כלומר: $\mathbf {F} ={\frac {{\rm {d}}\mathbf {p} }{{\rm {d}}t}}$. במשוואה זו p וקטור התנע של הגוף, ו-F הכוח הפועל עליו. כאשר המסה אינה משתנה ניתן לכתוב באופן שקול: $\mathbf {F} =m\mathbf {a}$, כאשר m מייגת את מסת הגוף ו-a את וקטור התאוצה שלו. זו כתיבה נוחה מכיוון שבבעיות קלאסיות רבות המסה היא פרמטר שאינו משתנה. אולם, כתיבת החוק במונחים של תנע היא כללית יותר וניתן להכלילה גם למערכות פיזיקליות במסגרת תורת היחסות הפרטית והכללית.

עבור מערכות מרובות גופים, משוואת התנועה של הגוף ה-i מושפעת מאינטראקציה עם שאר הגופים. לכן ניתן לנסח את החוק השני באופן הבא:

${\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} _{i}}{\mathrm {d} t}}=\mathbf {F} _{E}+\sum _{i\neq j}\mathbf {F} _{ij}\,\!$

כאשר $\mathbf {p} _{i}$ הוא המומנט של הגוף ה-$i$, $\mathbf {F} _{ij}$ הוא הכוח שמפעיל הגוף ה-$j$ על הגוף ה-$i$, ו-$\mathbf {F} _{E}$ הוא הכוח החיצוני.

יישום

מספר דוגמאות של החוק השני של ניוטון כוללים תיאור התנועה של מטוטלת פשוטה

$-mg\sin \theta =m{\frac {{\rm {d}}^{2}(\ell \theta )}{{\rm {d}}t^{2}}}\quad \Rightarrow \quad {\frac {{\rm {d}}^{2}\theta }{{\rm {d}}t^{2}}}=-{\frac {g}{\ell }}\sin \theta$

ותנועה של אוסצילטור הרמוני, שעליו מופעל כוח הרמוני בתדירות $\omega$ ואמפליטודה $F_{0}$

$F_{0}\sin(\omega t)=m\left({\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}+2\zeta \omega _{0}{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}+\omega _{0}^{2}x\right).$

כדי לתאר תנועה של מסה בהשפעת כוח כבידה, וכוח חיצוני ניתן להשתמש בחוק הכבידה העולמי בצירוף החוק השני של ניוטון. למשל, עבור כדור שמסתו $m$ נזרק באוויר, וזרמי אוויר (למשל רוח) מפעילים עליו כוח התנגדות (וקטורי)$\mathbf {R} =\mathbf {R} (\mathbf {r} ,t)$ משוואת התנועה תהייה

$-{\frac {GmM}{|\mathbf {r} |^{2}}}\mathbf {\hat {e}} _{r}+\mathbf {R} =m{\frac {{\rm {d}}^{2}\mathbf {r} }{{\rm {d}}t^{2}}}+0\Rightarrow -{\frac {GM}{|\mathbf {r} |^{2}}}\mathbf {\hat {e}} _{r}+\mathbf {A} ={\frac {{\rm {d}}^{2}\mathbf {r} }{{\rm {d}}t^{2}}}\,\!$

כאשר $G$ הוא קבוע הכבידה העולמי, $M$ היא מסת כדור הארץ ו $\mathbf {A} ={\frac {\mathbf {R} }{m}}$ היא תאוצת הגוף עקב התנגדות האוויר במיקום $\mathbf {r}$ ובזמן $t$.

אנלוגיה לשדות וגלים

בשונה ממשוואות התנועה לתיאור גופים מכניים, שהן בדרך כלל משוואות דפרנציאליות, המשוואות האנלוגיות במשוואות הגלים ובשדות הן משוואות דפרנציאליות חלקיות, כיוון שהגלים או השדות הן פונקציות של המקום והזמן. תנאי השפה קובעים במקרה זה אם הפתרונות יהיו של גלים עומדים או גלים מתקדמים.

משוואות הגלים הכללית בשלושה ממדים היא

$${\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\partial ^{2}X}{\partial t^{2}}}=\nabla ^{2}X$$

כאשר $v$ מייצג את מהירות התקדמות הגל ו ${\textstyle X=X(\mathbf {r} ,t)}$ מייצג אמפליטודה של שדה מכני או אלקטרומגנטי כלשהו. למשל:

• העתקה אורכית או רוחבית של של מוט מתנדנד, מיתר או ממברנה,
• שינוי בלחץ של תווך כלשהו, למשל גלי קול,
• השדה החשמלי או המגנטי,
• המתח או הזרם החשמלי במעגל של זרם חילופין.

משואות שדה

משוואות המתארות את התלות של המרחב והתפתחות הזמן בשדות נקראות "משוואות שדה". אלו כוללות לדוגמה את משוואות נאוויה-סטוקס למדידת מהירות השדות, את משוואות מקסוול עבור שדות אלקטרומגנטיים ואת משוואות השדה של איינשטיין לכבידה.

קישורים חיצוניים

• משוואות תנועה, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)