משתמש:BinyaM/תורת הערך

תורת הערך או תיאורית פרוספקט של דניאל כהנמן ועמוס טברסקי (Kahneman & Tversky, 1979), היא ענף של פסיכולוגיה חברתית ושל כלכלה התנהגותית. זהו פיתוח מתקדם לתיאורית תוחלת התועלת, הרציונלית, שפותחה על ידי פון נוימן ומורגנשטרן. בניגוד לתורת התועלת שהסבירה איך אנשים צריכים לקבל החלטות, היא מסבירה איך אנשים מקבלים החלטות בפועל. שני החלקים החשובים ביותר בתורה זו הם עקומת ההסתברות הסובייקטיבית, או בשמה הנוסף, עקומת שקלול ההסתברויות, ועקומת הערך או עקומת התועלת.

מוטיבציה לכתיבת התיאוריה

נניח וניתנה לכם האופציה לקבל מתנה בשווי 4,000 שקלים בהסתברות 75% או מתנה בשווי 3,000 בוודאות. במה הייתם בוחרים?

למרות שמבחינה מתמטית אין הבדל בין החלופות השונות (תוחלת התועלת), נראה כי אם הבחירה הזו תינתן לאנשים שונים אין הם יהיו אדישים לגבי הבחירה.

נניח ומצאתם 100 שקלים ברחוב ואיבדתם אותם, האם תחושו צער בגלל האובדן, למרות שבסופו של דבר חזרתם לאותו מצב כלכלי?

כדי להסביר תופעות מעין אלו קמה תיאוריה חדשה - תורת הערך.

אנשים הינם בעלי יכולת בחירה, כאשר בחירה טובה מוגדרת ככזו שתביא את התוצאות הטובות ביותר, כדי להגיע לתוצאות אלו קמה תיאורית תוחלת התועלת אשר מציעה לבחור את החלופה בעלת התוחלת הגבוהה ביותר. כהנמן וטברסקי ראו שהעולם לא מתנהג לפי תיאוריה זו, והבחירות השונות אינן דווקא רציונאליות ולכן המציאו תיאוריה שתסביר התנהגות זו של סטיות מההתנהגות המתבקשת לפי תיאורית תוחלת התועלת.

בעקבות ביקורת של טברסקי וכהנמן על תיאורית תוחלת התועלת כמודל קבלת החלטות תחת סיכון, פיתחו מודל אלטרנטיבי שנקרא תורת הערך (Prospect Theory). בה, אנשים נוהגים לתת משקלים שגויים להחלטות תחת אי וודאות ביחס להחלטות תחת וודאות. זה, הנקרא אפקט הוודאיות, מטה את החלטת מקבל ההחלטות במידה ויש וודאות. למרות שאין תצוגת ההחלטה אמורה להשפיע על מקבל ההחלטה, אנשים נוטים לשנות החלטתם לפי תצוגת האפשרויות. בתורת הערך, ניתנו משקלים שונים כדי לשחזר החלטות אלו ולמדל את ההחלטות שמקבלים אנשים, לפי תפישתם.

תיאורית תוחלת התועלת- הרחבה

תיאוריה זו שלטה באנליזה של קבלת החלטות תחת אי וודאות והייתה מקובלת כמודל הנורמטיבי לבחירה בין חלופות (Keeney & Eaiffa, 1976) וכמודל תיאורי להתנהגות כלכלית. לכן נהוג לחשוב שאנשים הגיוניים יפעלו לפי אקסיומות התיאוריה (Savage, 1954 ; Von Neumann & Morgenstern, 1944).

למרות זאת, במחקרם של טברסקי וכהנמן תיאורית תוחלת התועלת לא תואמת את המחקר התיאורי (שימוש במדגמים), ומכאן באה האלטרנטיבה לתיאוריה אחרת לבחירת חלופות תחת אי וודאות.

עקרונות תיאורית תוחלת התועלת

קבלת החלטות תחת אי וודאות ניתן להציג כסיכוי או כהימור.

סיכוי (x₁, p₁ ;…; x_n, p_n) מציין תוצאה x_i עם הסתברות p_i, כאשר סכום ההסתברויות שווה ל-1. לפי תיאורית תוחלת הערך לבחירה בין חלופות מבוססת על שלוש עקרונות:

1. ציפייה: (U(x₁, p₁ ; … ; x_n, p_n)= p₁u(x₁) + … + p_nu(x_n. כלומר התועלת הכללית מהסיכוי, U, היא תוחלת התועלת של התוצאות.
2. הימור (x₁, p₁ ; … ; x_n, p_n) יתקבל כאשר מצב העושר הנוכחי הינו w אם התועלת (U(w+x₁, p₁ ; … ; w+x_n, p_n)>u(w כלומר התועלת תהיה גבוהה מהמצב הנוכחי בכל מצב.
3. הימנעות מסיכון: פונקצית u של התועלת היא קעורה (u′′<0). אדם "שונא סיכון" יעדיף חלופה בטוחה על כל חלופה עם סיכון.

אפקט הוודאות

Tversky & Kahneman נתנו סדרה של שאלות שסותרות את העקרונות, נבדקים נתנו משקל עודף לחלופות וודאיות לעומת חלופות שהן אי וודאיות- אפקט הוודאיות.

כפי הנראה בגרף פונקציית המשקלים לקראת סוף הערך, המעבר מהסתברות של 99 אחוזים ל-100 אחוזים שונה מהמעבר מ66% ל67%, זה מראה את חוזק המעבר מאי וודאות לוודאות.

דרך אחרת לתאר את האפקט- במידה וישנה אפשרות לקבל החלטה שתניב תוצאה ודאית, מבלי "לפספס" יותר מדי בעקבות אי הבחירה בחלופה האחרת, מרב האנשים יעדיפו אותה. כך אותם אנשים נמענים מסיכון ובוחרים בחלופה ודאית.

תופעות הסותרות את תיאורית תוחלת התועלת

טברסקי וכהנמן הדגימו את הסתירות באמצעות סטודנטים באוניברסיטה. הוצגו להם חלופות ועליהם היה לבחור בזו שנראית להם כטובה ביותר.

דוגמה לשאלה לגבי חלופות:

חלופה א': 50% סיכוי לזכות ב-1,000 ו-50% סיכוי לזכות בכלום

חלופה ב': 450 בוודאות

השאלות הוצגו בסדר אחר לנבדקים ובתצוגות שונות, תוך שמירה על תנאים שיאפשרו להבנות מהתוצאות תיאוריה כללית.

להלן דוגמאות לסתירות השונות:

סתירה 1

בעיה 1

א': 2,500 בהסתברות של 33%, 2,400 בהסתברות של 66% ו-0 בהסתברות של 1%.

ב':2,400 בוודאות.

(72 משיבים, 18% בחרו א' ו-82% בחרו ב')

בעיה 2

ג': 2,500 בהסתברות של 33% ו-0 בהסתברות של 67%.

ד': 2,400 בהסתברות של 34% ו-0 בהסתברות של 66%.

(72 משיבים, 83% בחרו ג' ו-17% בחרו ד')

לפי תיאוריית תוחלת התועלת u(0)=0 התועלת של 0 הינה 0- כל סיכוי כפול 0 מאפס את המשוואה.

לפיכך לפי בעיה 1 - נבנה אי שוויון לפי הרוב שבחרו בחלופה מסוימת

(u(2,400)>.33u(2,500)+.66u(2,400

מכאן נובע לאחר העברת אגפים- (34u(2,400)>.33u(2,500., לכן היינו מצפים שבבעיה השנייה הרוב יבחרו בחלופה ד'.

אולם, מבעיה 2 שבה עוברים מבעיה עם וודאות (1) לאי וודאות (2), נובע בדיוק ההפך, כאן ההעדפה משתנה ואי השוויון משתנה-

(34u(2,400)<.33u(2,500. , לכן זוהי סתירה של התיאוריה (תוחלת התועלת), למרות התוחלות השוות ההחלטה משתנה.

סתירה 2

בעיה 3

א': 4,000 בהסתברות 80%

ב': 3,000 בוודאות

(95 משיבים, 20% בחרו א', 80% בחרו ב')

בעיה 4

ג': 4,000 בהסתברות 20%

ד': 3,000 בהסתברות 25%

(95 משיבים, 65% בחרו ג', 35% בחרו ד')

בשתי הבעיות הללו, יותר מחצי סתרו את תיאורית תוחלת התועלת.

שוב, לפי בעיה 3-

8u(4,000) < u(3,000) → u(3,000) / u(4,000) > 4/5.

לעומת זאת מבעיה 4 נובע בדיוק ההפך –

2u(4,000)>.25u(3,000) → u(3,000)/u(4,000)<4/5.,

לפי האקסיומה של התיאוריה אם A עדיפה על B, אז גם בשילוב של A ו-B עם אותה הסתברות- (A,p) ו-(B,p) אמורה להיות אותה העדפה. כאן ההסתברויות חולקו ב-4 וההעדפה השתנתה, למרות שעל פי תיאורית תוחלת התועלת לא אמור שינוי בהעדפה, למרות זאת מעבר מוודאות לחוסר וודאות שינה את ההעדפה. דוגמה נוספת לאפקט הוודאות עם נתונים לא מספריים:

סתירה 3

בעיה 5

א': 50% לזכות בחופשה באנגליה, צרפת ואיטליה.

ב': שבוע באנגליה בוודאות.

(72 משיבים, 22% בחרו א', 78% בחרו ב')

בעיה 6

ג': 5% לזכות בחופשה באנגליה, צרפת ואיטליה.

ד': 10% לזכות בשבוע חופשה באנגליה.

(72 משיבים, 67% בחרו ג', 33% בחרו ד')

דוגמאות לסתירות אחרות של התיאוריה:

סתירה 4

בעיה 7

א': (45. ,6,000)

ב': (9. ,3,000)

(66 משיבים, 14% בחרו א', 86% בחרו ב')

בעיה 8

ג': (001. ,6,000)

ד': (002. ,3,000)

(66 משיבים, 73% בחרו ג', 27% בחרו ד')

בשתי הבעיות (7 ו-8) אחת החלופות גבוהה פי שניים מהאחרת (ב לעומת א, ד לעומת ג). למרות שתוחלת התועלת שווה בשני המקרים (ולכן לא אמור להיות הבדל בין שני החלופות לאדם הרציונאלי), בבעיה הראשונה הבחירה הייתה זו בעלת הסיכוי הגבוהה, ואילו בבעיה 8 החלופה הנבחרת הייתה זו בעלת הפוטנציאל הגבוה ביותר לרווח.

אפקט הבבואה

חלק מהבעיות שעלולות להופיע כוללות אפשרויות של הפסד ולא רק רווח (למשל להפסיד 4000 בהסתברות של 0.8 או להפסיד 3000 בוודאות). במקרים שנבדקו במחקרים של טברסקי וכהנמן (1979) המעבר מתצוגה של רווח להפסד הפכה את בחירת הנבדקים, כמו מראה לבחירותיהם.

האפקט נובע בבחירת אנשים שבתחילה נמנעו מסיכון וכעת מחפשים סיכון (בחרו באופציה שבה אומנם יש סיכון אבל ההפסד הפוטנציאלי נמוך יותר). בנוסף, גם אפקט זה סותר את תיאורית תוחלת התועלת, מה שגרם לאנשים להיות לא עקביים בבחירותיהם בין החלופות. אם בתחום הרווח אנשים חיפשו סכום בו יוכלו לזכות באופן כמה שיותר וודאי, בתחום ההפסד אותם אנשים דווקא חיפשו דווקא את החלופות בהן יש אי וודאות, כך אולי ימנעו מהפסד.

ביטוח הסתברותי

דבר נוסף שעלול להשפיע על בחירת אנשים הוא ביטוח. ברכישת ביטוח פונקצית התועלת מתקערת בעבור תשלום סכום כסף מסוים. ישנם אנשים שלא ירצו את אותה הקערות ויעדיפו כיסוי מוגבל לביטוח. לדוגמה:

בעיה 9

נניח ואדם חושב לבטח טובין כנגד מפגע. לאחר בדיקת הסיכונים ועלות הביטוח אין העדפה ברורה בין רכישת הביטוח או השארת הטובין לא מבוטח. כאן מציעה חברת הביטוח ביטוח הסתברותי. תשלום הפרמיה לביטוח יהיה חצי מערכו הרגיל, אך ב-50 אחוזים ישולם החצי הנוסף והנזק יכוסה וב-50 האחוזים הנותרים הפרמיה תוחזר והנזק לא יכוסה. במקרה הזה 80% מתוך 95 נסיינים לא היו מעדיפים לעבור לביטוח הסתברותי.

מה שהושג מהבעיה הוא שהירידה מסיכוי P מסוים ל-P/2 פחות משמעותי מירידה מ-P/2 ל-0 (וודאות), מה שמיוצג על ידי החלפת ביטוח בביטוח הסתברותי. לעומת זאת, על פי תיאורית תוחלת התועלת דווקא הביטוח ההסתברותי הוא הטוב יותר. מה שמציג סתירה נוספת לתיאורית תוחלת התועלת.

אפקט הבידוד

(Tversky (1972 טען כי אנשים נוטים להשוות בין חלופות כשהם ממעיטים בהתחשבות בדומה בין החלופות ומתייחסים לשונה ביניהן. נטייה זו גורמת לפירוק של מרכיבי החלופה ביותר מדרך אחת כאשר השילוב יכול להוביל להעדפות שונות. דוגמה:

בעיה 10

משחק בעל 2 שלבים- בשלב הראשון סיכוי של 75% לסיים את המשחק ללא זכייה, ושל 25% לעבור לשלב הבא. כאשר בשלב השני ישנה החלטה- 4000 בהסתברות של 80% או 3000 בוודאות. ההחלטה צריכה להיעשות לפני תחילת המשחק.

בפועל ישנו סיכוי של בין 20% (80.*25.) לזכות ב-4000 ושל 25% (1.0*25.) לזכות ב-3000, לכן הבחירה היא בין (2. ,4,000) ו-(25. ,3,000) ממש כמו בבעיה 4. למרות זאת, הבחירה ב-4 וב-10 היו שונות. עם זאת, היו שהתעלמו מהשלב הראשון ואז בעיה 10 הינה (3,000) לעומת (8. ,4,000) ממש כמו בבעיה 3. לכן ישנה חוסר התאמה לתוחלת התועלת בגלל אותה התעלמות.

בעיה נוספת, העדפות עלולות להשתנות בתצוגות שונות של התוצאות.

בעיה 11

אדם קיבל מעבר לסכום שכבר יש לו עוד 1000 יחידות כסף. כעת הוא יכול לבחור בין:

א': (5. ,1,000)

ב': (500)

(70 משיבים, 16% בחרו א', 84% בחרו ב')

בעיה 12

אדם קיבל מעבר לסכום שכבר יש לו עוד 2000 יחידות כסף. כעת הוא יכול לבחור בין:

ג': (5. ,1,000-)

ד': (500-)

(68 משיבים, 69% בחרו ג', 31% בחרו ד')

נראה כי הרוב בחרו באפשרות ב' בבעיה 11 ובאפשרות ג' בבעיה 12. מה שממחיש כי אנשים הם שונאי סיכון בנוגע לערכים חיוביים ואוהבי סיכון בנוגע לערכים שליליים. זאת כשבעקרון הבעיה היא זהה. ג=(5. ,1,000 ; 5. ,2,000)=א וכן ד=(1,500)=ב. כמובן שלפי תיאוריית תוחלת התועלת לא אמור להיות שינוי בבחירה, לכן זוהי סתירה של התיאוריה. מה גם שנראה כי מה שקובע את ערך התועלת הוא דווקא השינוי בסכום הכסף שברשותך ולא הסכום הסופי שעלול להיות לך.

התיאוריה

מחקרים אמפיריים גילו כי ישנן סתירות לתיאוריית תוחלת התועלת שהיא מודל תיאורי (שמתבסס על תצפיות), ומכאן עלתה האלטרנטיבה להשתמש בתיאורית הסיכוי (prospect)- תורת הערך. בתיאוריה זו, ישנה הבחנה בין שני שלבים שבתהליך בחירת החלופה: שלב מקדים של עריכה ושלב לאחר מכן שלב הערכה. שלב העריכה כולל אנליזה מקדימה של ההסתברויות הנתונות, שלעיתים מניבה תצוגה פשוטה יותר של אותם סיכויים. בשלב השני, ההסתברויות שעברו עריכה עוברות הערכה והסיכוי של הערך הגבוה ביותר נבחר.

שלב העריכה

פונקצית העריכה היא ארגון וניסוח מחדש של האופציות כדי לפשט את ההערכה והבחירה. עריכה מורכבת מיישומים של כמה תהליכים שמשנים את התוצאות והסיכויים המוצעים. התהליכים המרכזיים הם:

קידוד- אנשים תופסים תוצאות כרווחים או הפסדים, במקום להסתכל על התוצאות כמצב סופי של עושר או סעד. הפסדים ורווחים הינם יחסיים לנקודת ייחוס. נקודת הייחוס תואמת למצב הנוכחי שבו נמצאים, וממנו ישנם הפסדים או רווחים. אולם, מיקום נקודת ההתייחסות והקידוד של התוצאות כרווחים או הפסדים יכול להיות מושפע מניסוח הבעיה של הסיכויים שמוצעים ומציפיות מקבל ההחלטות.

שילוב- ניתן לפשט סיכויים באמצעות שילוב של ההסתברויות לתוצאות זהות. למשל, סיכוי של (25. ,200 ; 25. ,200) יפושט ל-(5. ,200). ויוערך בצורה הזו.

הפרדה- ישנם סיכויים שכוללים מרכיבים חסרי סיכון אשר יופרדו בשלב העריכה. למשל, (2. ,200 ; 8. ,300) יפורק כמובן לרווח של 200 וסיכוי (8. ,100). באופן דומה, הסיכוי (6. ,100- ; 4. ,400-) כולל הפסד וודאי של 100 וסיכוי של (4. ,300-).

קידוד, שילוב והפרדה נעשים לכל חלופה בנפרד. להלן תהליך שנעשה לסט של שתי חלופות או יותר יחד-

ביטול- בתהליך זה ניתן לבטל מרכיבים משותפים לחלופות שונות. למשל, בבעיה 10 השלב הראשון זהה בשתי החלופות ולכן ניתן להתעלם ממנו. בנוסף ניתן גם להתעלם מהבונוס שנוסף לחלופות בשלבים 11,12 כי זהה עבור החלופות בבעיות השונות. סוג נוסף של ביטול כולל הסרה של מרכיבים, כלומר זוגות תוצאה-סיכוי. למשל, הבחירה בין (3. ,50- ; 5. ,100 ; 2. ,200) ו- (3. ,100- ; 5. ,150 ; 2. ,200) יכולים להיות מופחתים על ידי ביטול לכדי (3. ,50 ; 5. ,100) ו- (3. ,100- ; 5. ,150).

שני תהליכים נוספים הם הפשטה ו-דומיננטיות. ההפשטה מתאפשרת על ידי עיגול ההסתברויות או התוצאות בחלופות. למשל עיגול של (101, 49.) לכדי 100. צורה נוספת של הפשטה כוללת השמטה של תוצאות בלתי סבירות באופן קיצוני. התהליך השני כולל סקירה של החלופות למציאת חלופה דומיננטית, כאשר החלופה הנשלטת מושמטת ללא הערכה.

מקרים רבים של העדפות נבחרות כתוצאה של שלב העריכה של החלופה. ההעדפה של חלופה מסוימת לא אמור לנבוע מהשוני בהקשר, כי ניתן לערוך לפי ההקשר בו החלופה נמצאת.

שלב ההערכה

לאחר שלב העריכה אמור מקבל ההחלטות להעריך כל חלופה ולבחור בזו בעלת הציון הגבוה ביותר. הציון הכולל של החלופה מסומן ב-V, ונובע משני מדדים π ו-ν. המדד הראשון, π , קשור למשקל ההסתברות p של החלטה (π(p, אשר משפיע על תרומת p לציון הכולל של החלופה (prospect).

π איננו מדד להסתברות ומופיע כ- (π(p)+π(1-p אשר קטן מ-1 שמוכיח כי איננו הסתברות. בנוסף ישנו המדד ν, אשר נותן לכל תוצאה x את הערך (ν(x, אשר משקף את הערך שנתפש. התיאוריה מבוססת על נקודת התייחסות, והערך ש-ν מודד מציין רווח או הפסד ביחס לנקודת ההתייחסות.

השימוש בתיאוריה מתבצע על פי הנוסחה:

(V(x₁,p₁;...;x_n,p_n)=ν(x₁)*π(p₁)+...+ν(x_n)*π(p_n

כאשר π(0)=0, ν(0)=0, ו- π(1)=1. הסימון V מיצג את תפישת הערך, כאשר ν מיצג את התוצאות. כמובן ש (V(x,1)=V(x)=ν(x.

היסטוריה

הראשון שניסה בעבר לשנות את תיאוריית תוחלת התועלת היה (Markowitz (1952. מרקוביץ' הגדיר רווחים והפסדים במקום מצב כספי סופי שנמצא נכון במחקרים אמפיריים לאחר מכן. פונקציית התועלת שהגדיר הייתה קמורה וקעורה בשני המקרים, רווחים והפסדים. למרות זאת, נמצאו סתירות לתיאוריה זו.

ניסיון אחר היה לשנות את ההסתברויות למשקלים כלליים יותר אשר הוצע על ידי (Edwards (1962, גם לשינוי זה הורצו מחקרים אמפיריים. מודלים דומים פותחו על ידי (Fellner (1965, שהציע רעיון משקול החלטה כדי למנוע עמימות, ועל ידי (van Dam (1975 שניסה למדוד משקלי החלטות. אנליזות נוספות של תיאוריית תוחלת התועלת ומודלים אלטרנטיביים להחלטות, נעשו על ידי (Allias (1953), Coombs (1975), Fishburn (1977, ו-Hansson (1975).

המשוואה של תורת הערך משמרת את הצורה הליניארית של תיאורית תוחלת הערך. כדי להתגבר על הסתירות השונות בתיאורית תוחלת הערך, יש להתייחס לשינוי מהמצב הנוכחי ולא למצב הכספי הסופי, וכן משקול ההחלטות לא חופף להסתברויות הנתונות. המטרה- להצליח למדל אי התאמות לתיאורית תוחלת התועלת. אי התאמות שלעיתים מתוקנות על ידי מקבל ההחלטות הרציונאלי, ומתרחשות כאשר למקבל ההחלטות אין את ההזדמנות לגלות שהעדפותיו סותרות את תיאוריית תוחלת התועלת.

פונקצית הערך

מקבלי החלטות אינם פועלים לפי סכום כסף מסוים סופי אלא על פי השינוי בהון. כל נתון שנמצא בסביבתנו תמיד משווה בתפישה לניסיון העבר- נקודת התייחסות (Helson, 1964). כך למשל, טמפרטורה מסוימת תחשב חמה או קרה ביחס למה שאדם התרגל אליו. דוגמה נוספת, מליון שקלים יכולים להיתפש בעיני אדם מסוים כהמון כסף ובעיני אחר כמעט, תלוי בנקודת ההתייחסות. היא לא בהכרח 0 אלא יכולה להיות המצב הנוכחי של אדם וממנו אפשר לעלות או לרדת. פונקצית הערך צריכה להיות תלויה בשני ערכים- נקודת ההתייחסות וגודל השינוי (רווח או הפסד) מנקודת ההתייחסות. ישנם פונקציות ערך רבות, מה שמשותף להן הוא שהפונקציה הופכת ליניארית ככל שהערכים של השינוי גדלים, וככל שהשינוי קטן, ההבדל בערך קטן. אבל הקירוב מספיק טוב.

בתורת הערך, השינוי הוא זה שנלקח בחשבון, כך למשל שינוי מ-3 מעלות ל-6 מעלות מורגש יותר משינוי מ-13 מעלות ל-16 מעלות שונה או למשל תוספת של שקל ל-2 קיימים, לעומת למשל תוספת של שקל למליון שכבר יש לי, התוספת שונה, תכונת התועלת השולית הפוחתת. לכן, ההשערה שעלתה היא שפונקצית הערך עבור השינוי בעושר היא קעורה כאשר מדובר ברווח (v′′(x)<0,x>0) וקמורה (v′′(x)>0, x<0) כשמדובר בהפסדים. לפי השערה זו ההבדלים קטנים ככל שמדובר במספרים הרחוקים יותר על ציר המספרים מנקודת ההתייחסות. השערה זו אומתה במחקרם של Galanter ו- (Pliner (1974.

דוגמה

בעיה 13

א': (25. ,6,000)

ב': (25. ,2,000 ; 25. ,4,000)

(68 משיבים, 18% בחרו א', 82% בחרו ב')

בעיה 13'

ג': (25. ,6,000-)

ד': (25. ,2,000- ; 25. ,4,000-)

(64 משיבים, 70% בחרו ג', 30% בחרו ד')

לפי ההעדפה- [(π(.25)ν(-6000)>π(.25)[ν(-4000)+ν(-2000 וגם [(π(.25)ν(6000)<π(.25)[ν(4000)+ν(2000

מכאן נובע ש-

(ν(-6000)>ν(-4000)+ν(-2000 וגם (ν(6000)<ν(4000)+ν(2000.

נראה כי ערך הפונקציה לסכום מסוים תהיה קטנה מסכום הערכים של המרכיבים של אותו הסכום. במקרה של שליליים ערך הסכום גדול מסכום המרכיבים. ההעדפה הזו מתאימה להשערה שעלתה שפונקצית הערך קעורה ברווחים וקמורה בהפסדים. לכן למשל, עדיף לתת הטבות במנות ועונשים בבת אחת.

בנוסף, פונקצית הערך איננה קבועה המתארת התייחסות "טהורה" לכסף, אלא יכולה להשתנות ולהיות מושפעת מגורמים נוספים. כך למשל, אדם החוסך לקניית בית יכול להיות רגיש יותר להפסדים שימנעו ממנו לרכוש את הבית שהוא רוצה.

באופן כללי ההשפעה של רווח של סכום כסף קטנה מאשר ההשפעה של הפסד אותו סכום כסף (Pliner & Galanter, 1974). כך למשל ההצעה הסימטרית (x, .5; -x, .5), איננה אטרקטיבית. כמו כן, עבור x>y>=0 אזי ההצעה (y, .5; -y, .5) עדיפה על (x, .5; -x, .5).

דוגמה לפונקצית ערך (טברסקי וכהנמן 1979)

פונקצית המשקלים

בתורת הערך, כל תוצאה בכל חלופה מוכפלת במשקל ההחלטה ספציפית לה התלויה בהסתברות שנקבעה לאותה תוצאה בהחלטה. משקלי ההחלטה אינם הסתברויות, הם לא מקיימים את האקסיומות שקיימות בהסתברויות ולא צריכים להיתפס כמדדים של רמה או אמונה.

משקל ההחלטה מודד את מידת ההשפעה על כדאיות ההחלטה. כך למשל במקרה שבו יש סיכוי של 0.5 לזכות ב-1,000 או כלום. ערך הפונקציה (π(0.5 לא תהיה 0.5 אלא פחות, זאת לעומת אדם רציונאלי שמבחינתו הסיכויים של עץ או פאלי זהים והם 0.5.

הפונקציה הינה פונקציה המקשרת בין משקל החלטה לבין ההסתברות שלה עולה ככל שההסתברות p גדלה, וכן, π(0)=0 ו-π(1)=1. כאשר עבור ערכי p קטנים התועלת השולית פוחחת, כלומר (π(rp)>rπ(p עבור r בין 0 ל-1. לעומת זאת, עבור ערכי p גדולים התועלת השולית עולה, כלומר (π(rp)<rπ(p עבור r בין 0 ל-1.

כך למשל- אם (x,p) שווה ל- (y,pq) אזי (x,pr) פחות עדיפה מאשר (y,pqr) עבור p,q,r בין 0 ל-1. כך (π(p)ν(x)=π(pq)ν(y הופך להיות (π(pr)ν(x)<=π(pqr)ν(y. כי (π(pq)/π(p)≤π(pqr)/π(pr.

מעבר לכך, להסתברויות מאוד קטנות יש הערכת יתר של המשקל, כך π(p)>p. למשל:

בעיה 14

א': (001. ,5,000)

ב': (5)

(72 משיבים, 72% בחרו א', 28% בחרו ב')

בעיה 14'

ג': (001. ,5,000-)

ד': (-5)

(72 משיבים, 17% בחרו ג', 83% בחרו ד')

לפי בעיה 14, אנשים העדיפו אפקט של לוטו מאשר תוחלת הערך של הכרטיס שהוא 5. ובבעיה 14', כאילו העדיפו לשלם 5 שיהווה ביטוח כדי לא להפסיד 5000. לפי תיאורית פרוספקט בבעיה 14- (π(.001)ν(5,000)>ν(5, לכן, π(.001)>ν(5)/ν(5,000)>.001, בהנחה שפונקצית הערך לרווחים קעורה. בבעיה 14', הנכונות לשלם ביטוח מניבה את אותה המסקנה תחת ההנחה שפונקצית הערך להפסדים קמורה. לפיכך, במקרים נדירים אותה הערכת יתר יכולה לגרום להשפעה גדולה יותר שלהם.

עקרון מעניין שקשור לפונקצית המשקלים הוא שלמרות שידוע כי π(p)>p עבור הסתברויות קטנות, הוכח כי עבור p בין 0 ל-1, מתרחש π(p)+π(1-p)<1.

גרף הפונקציה של המשקלים רדודה במרכזה ומשתנה בפתאומיות בחלקים הקיצוניים להיות π(0)=0 וכן π(1)=1. בקצוות הפונקציה מקוטעת שכן ישנו גבול לכמה ש-p יכול להיות קטן, אם בכלל יש לו משקל, אותו הדבר לקרבה של הפונקציה ל-1. אלו הם המעברים בין אי וודאות לוודאות.

דוגמה לפונקצית משקלים (טברסקי וכהנמן 1979)

סיכום

תורת הערך באה במטרה לתאר את התנהגות האדם בקבלת החלטות תחת סיכון ( אי וודאות ), זאת כאשר נצפו סטיות מתיאורית תוחלת התועלת שקדמה לה שבה קיימת ההנחה כי אדם רציונאלי יבחר בחלופה בעלת התוחלת הגבוהה ביותר, עם זאת, אנשים בחרו אחרת.

בתורת הערך ישנן שתי פונקציות המרכיבות את תהליך קבלת ההחלטה:

1. פונקצית הערך (ν)- אנשים אינם מסתכלים על סכום כסף מסוים אלא מתייחסים לשינוי בהון שלהם. פונקציה זו מכילה נקודת התייחסות והערך שיוצב בפונקציה הוא השינוי מנקודה זו.
2. פונקצית המשקלים (π)- לכל חלופה יש הסתברות, ההסתברות איננה זו שנלקחת בחשבון אלא משמשת כערך שיוצב בפונקציה זו. הערך המתקבל מייצג את כמות ההשפעה על כדאיות ההחלטה.

חישוב ערך החלופה בתורת הערך יעשה לפי הנוסחה:

(V(x₁,p₁;...;x_n,p_n)=ν(x₁)*π(p₁)+...+ν(x_n)*π(p_n

דוגמה לשימוש

1. בעולם המניות, ישנה ההחלטה האם להחזיק מניה שמפסידה או בסיכון להפסיד. בעקבות תורת הערך נוצר פער בין ערך המניה לשיווי המשקל שלה ולכן אדם עלול למכור מניה מפסידה מאוחר מדי או מוקדם מדי מניה מוצלחת. זאת בעקבות ההבדלים בתפישת הערכים והסיכונים כפי שמוצגות בתורת הערך ובעקבות חוסר התייחסות לאינטראקציות בין מניות שונות. (Griblatt & Han, 2005)
2. בתחום מערכות המידע, שימשה התיאוריה לבדוק את ההבדל במתן העדיפות לטכנולוגיות המידע (IT). נראה כי אוהבי סיכון דרגו את ההשקעות ב-IT גבוה יותר מאשר שונאי הסיכון. לרווחים והפסדים החלטה מכרעת בהערכת החלטות בנושא IT כאשר ההחלטות הן תחת סיכון (מתן הסתברויות). הממצאים מראים שכאשר המידע מושלם היה שינוי בהערכה. תהליך ההערכה נבדק באמצעות תורת הערך. (Rose et al., 2004)

מקורות

הערך מובסס בעקרו על מאמרם של עמוס טברסקי ודניאל כהנמן:

Kahneman, D., & Tversky, A., "Prospect theory: An analysis of decision under risk", 1979

לקריאה נוספת

Allias, M.:"Le Comportement de l'Homme Rationnel le Risque, Critique des Postulats et Axiomes de l'Ecole Americaine", Econometrica, 21 (1953), 503-546.

Coombs, C. H.:"Portfolio Theory and the Measurement of Risk", Human Judgment and Decision Processes, M. F. Kaplan and S. Shwartz. New York: Academic Press, 1975, 63-85.

Edwards, W.:"Subjective Probabilities Inferred from Decisions", Psychological Review, 69 (1962), 109-135.

Fellner, W.: Probability and Profit – A Study of Economic Behavior Along Bayesian Lines. Homewood, Illinois: Richard D.Irwin, 1965.

Fishburn, P. C.:"Mean-Risk Analysis with Risk Associated with Below-Target Returns", American Economic Review, 67 (1977), 116-126.

Galanter, E., and P. Pliner: "Cross-Modality Matching of Money Against Other Continua", Sensation and Measurement, H. R. Moskowitz et al. Dordrecht, Holland: Reidel, 1974, 65-76.

Grinblatt, M., and Han, B.:"Prospect theory, mental accounting, and momentum". Journal of Financial Economics, 2005, 78(2), 311-339.

Hansson, B.:"The Appropriateness of the Expected Utility Model", Erkenntnis, 9 (1975), 175-194.

Helson, H.: Adaptation-Level Theory. New York: Harper, 1964.

Kahneman, D., & Tversky, A. (1979). "Prospect theory: An analysis of decision under risk", Econometrica, 47, 263-290.

Markowitz, H.: "The Utility of Wealth", Journal of Political Economy, 60 (1952), 151-158.

Rose, J. M., A. M. Rose, and C. S. Norman. 2004. "The Evaluation of Risky Information Technology Investment Decisions," Journal of Information Systems (18:1), Spring, pp. 53-66.

Tversky, A.:"Elimination by Aspects: A Theory of Choice", Psychological Review, 79 (1972), 281-299.

Van Dam, C.:"Another Look at Inconsistency in Financial Decision-Making", presented at the Seminar in Finance and Monetary Economics, Cergy-Pontoise, March, 1975.