עקרון המקסימום

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
הגרף של |\cos z| בעיגול היחידה. ניתן לראות שאין מקסימום מקומי בפנים המעגל ושהמקסימום מתקבל על השפה.

באנליזה מרוכבת, עקרון המקסימום קובע שאם \ f פונקציה הולומורפית בתחום \ D וקיים \ z \in D שהוא מקסימום מקומי של \ |f| אז \ f קבועה.

בנוסח שקול, אם f רציפה בקבוצה קומפקטית \bar{D}, והולומורפית בפנים שלה, אז המקסימום של |f| ב-\bar{D} מתקבל על השפה \partial\bar{D}.

הוכחה[עריכת קוד מקור | עריכה]

יהי z_0\in D מקסימום מקומי של |f|. משמע קיים 0<R קטן מספיק כך שבעיגול ברדיוס R סביב z_0, f הולומורפית ו-z_0 מקסימום מוחלט של |f|. יהי 0\le r<R. לפי משפט הערך הממוצע של גאוס:

f(z_0) = {1 \over 2\pi} \int_0^{2\pi} {f(z_0+re^{i\theta})}\, d\theta

לפי אי-שוויון המשולש האינטגרלי:

|f(z_0)| \le {1 \over 2\pi} \int_0^{2\pi} {|f(z_0+re^{i\theta})|}\, d\theta \le {1 \over 2\pi} \int_0^{2\pi} {|f(z_0)|}\, d\theta = |f(z_0)|

זוהי שרשרת אי-שוויונות חלשים שמתחילה ונגמרת באותו מספר, ולכן כל האי-שוויונות הם שוויונות. לכן:

(*)\ \ \int_0^{2\pi} {|f(z_0+re^{i\theta})|}\, d\theta = \int_0^{2\pi} {|f(z_0)|}\, d\theta

נגדיר g(x)=\int_0^{x}{|f(z_0)|-|f(z_0+re^{i\theta})|}\, d\theta בקטע [0,2\pi]. g עולה חלש, שכן מהמקסימליות של |f(z_0)|:

g'(\theta)=|f(z_0)|-|f(z_0+re^{i\theta})|\ge 0

אולם מ-(*) נובע ש-g(0)=g(2\pi)=0, ולכן g(x)=0 לכל x\in [0,2\pi]. מכאן ש-g'(\theta)=0 לכל x\in [0,2\pi], כלומר:

|f(z_0+re^{i\theta})|=|f(z_0)|

קיבלנו ש-|f| קבועה בעיגול המוכל בתחום. לכן (כפי שניתן להסיק ממשוואות קושי-רימן) גם f קבועה בעיגול. ממשפט היחידות נובע ש-f קבועה בכל התחום.