עקרון המקסימום

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
Gnome-colors-emblem-development-2.svg הערך נמצא בשלבי עבודה: כדי למנוע התנגשויות עריכה ועבודה כפולה אתם מתבקשים שלא לערוך ערך זה בטרם תוסר הודעה זו, אלא אם כן תיאמתם זאת עם מניחי התבנית.
אם הדף לא נערך במשך שבוע ניתן להסיר את התבנית ולערוך אותו, אך רצוי לתת קודם תזכורת בדף שיחת הכותבים.
הגרף של |\cos z| בעיגול היחידה. ניתן לראות שאין מקסימום מקומי בפנים המעגל ושהמקסימום מתקבל על השפה.

באנליזה מרוכבת, עקרון המקסימום קובע שאם \ f פונקציה הולומורפית בתחום \ D וקיים \ z \in D שהוא מקסימום מקומי של \ |f| אז \ f קבועה.

בנוסח שקול, אם f רציפה בקבוצה קומפקטית \bar{D}, והולומורפית בפנים שלה, אז המקסימום של |f| ב-\bar{D} מתקבל על השפה \partial\bar{D}.

הוכחה[עריכת קוד מקור | עריכה]

יהי z_0\in D מקסימום מקומי של |f|. משמע קיים 0<R קטן מספיק כך שבעיגול ברדיוס R סביב z_0, f הולומורפית ו-z_0 מקסימום מוחלט של |f|. יהי 0\le r<R. לפי משפט הערך הממוצע של גאוס:

f(z_0) = {1 \over 2\pi} \int_0^{2\pi} {f(z_0+re^{i\theta})}\, d\theta

לפי אי-שוויון המשולש האינטגרלי:

|f(z_0)| \le {1 \over 2\pi} \int_0^{2\pi} {|f(z_0+re^{i\theta})|}\, d\theta \le {1 \over 2\pi} \int_0^{2\pi} {|f(z_0)|}\, d\theta = |f(z_0)|

זוהי שרשרת אי-שוויונות חלשים שמתחילה ונגמרת באותו מספר, ולכן כל האי-שוויונות הם שוויונות. לכן:

(*)\ \ \int_0^{2\pi} {|f(z_0+re^{i\theta})|}\, d\theta = \int_0^{2\pi} {|f(z_0)|}\, d\theta

נגדיר g(x)=\int_0^{x}{|f(z_0)|-|f(z_0+re^{i\theta})|}\, d\theta בקטע [0,2\pi]. g עולה חלש, שכן מהמקסימליות של |f(z_0)|:

g'(\theta)=|f(z_0)|-|f(z_0+re^{i\theta})|\ge 0

אולם מ-(*) נובע ש-g(0)=g(2\pi)=0, ולכן g(x)=0 לכל x\in [0,2\pi]. מכאן ש-g'(\theta)=0 לכל x\in [0,2\pi], כלומר:

|f(z_0+re^{i\theta})|=|f(z_0)|

קיבלנו ש-|f| קבועה בעיגול המוכל בתחום. לכן (כפי שניתן להסיק ממשוואות קושי-רימן) גם f קבועה בעיגול. ממשפט היחידות נובע ש-f קבועה בכל התחום.