עקרון המקסימום

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
הגרף של |\cos z| בעיגול היחידה. ניתן לראות שאין מקסימום מקומי בפנים המעגל ושהמקסימום מתקבל על השפה.

באנליזה מרוכבת, עקרון המקסימום קובע שאם \ f פונקציה הולומורפית בתחום \ D וקיים \ z \in D שהוא מקסימום מקומי של \ |f| אז \ f קבועה.

בנוסח שקול, אם f רציפה בקבוצה קומפקטית \bar{D}, והולומורפית בפנים שלה, אז המקסימום של |f| ב-\bar{D} מתקבל על השפה \partial\bar{D}.

הוכחה[עריכת קוד מקור | עריכה]

יהי z_0\in D מקסימום מקומי של |f|. משמע קיים 0<R קטן מספיק כך שבעיגול ברדיוס R סביב z_0, f הולומורפית ו-z_0 מקסימום מוחלט של |f|. יהי 0\le r<R. לפי משפט הערך הממוצע של גאוס:

f(z_0) = {1 \over 2\pi} \int_0^{2\pi} {f(z_0+re^{i\theta})}\, d\theta

לפי אי-שוויון המשולש האינטגרלי:

|f(z_0)| \le {1 \over 2\pi} \int_0^{2\pi} {|f(z_0+re^{i\theta})|}\, d\theta \le {1 \over 2\pi} \int_0^{2\pi} {|f(z_0)|}\, d\theta = |f(z_0)|

זוהי שרשרת אי-שוויונות חלשים שמתחילה ונגמרת באותו מספר, ולכן כל האי-שוויונות הם שוויונות. לכן:

(*)\ \ \int_0^{2\pi} {|f(z_0+re^{i\theta})|}\, d\theta = \int_0^{2\pi} {|f(z_0)|}\, d\theta

נגדיר g(x)=\int_0^{x}{|f(z_0)|-|f(z_0+re^{i\theta})|}\, d\theta בקטע [0,2\pi]. g עולה חלש, שכן מהמקסימליות של |f(z_0)|:

g'(\theta)=|f(z_0)|-|f(z_0+re^{i\theta})|\ge 0

אולם מ-(*) נובע ש-g(0)=g(2\pi)=0, ולכן g(x)=0 לכל x\in [0,2\pi]. מכאן ש-g'(\theta)=0 לכל x\in [0,2\pi], כלומר:

|f(z_0+re^{i\theta})|=|f(z_0)|

קיבלנו ש-|f| קבועה בעיגול המוכל בתחום. לכן (כפי שניתן להסיק ממשוואות קושי-רימן) גם f קבועה בעיגול. ממשפט היחידות נובע ש-f קבועה בכל התחום.

עקרון המקסימום לפונקציה הרמונית[עריכת קוד מקור | עריכה]

ניתן לנסח גרסה דומה לעקרון המקסימום גם לפונקציות הרמוניות. בניגוד למקרה המרוכב, משפט היחידות איננו תקף לפונקציות הרמוניות (למשל, הפונקציה u(x,y)=x עם \{(x,y): x^2+y^2<1\} שווה זהותית לאפס על \{0\} \times (0,1) אך איננה קבועה).

ראשית ננסח גרסה נקודתית:

משפט - אם u פונקציה הרמונית בתחום \Omega, ומקבלת מקסימום מקומי בנקודה z_0 \in \Omega, אז היא קבועה בסביבת z_0.

הגרסה הכללית היא:

משפט - אם u הרמונית בתחום חסום \Omega, ורציפה בשפה \partial \Omega, אז אם קיימת z_0 \in \Omega כזו ש-\max_{z \in \overline{\Omega}}{u(z)}=u(z_0) אז היא קבועה ב-\Omega.

במיוחד, המשפט תקף עבור החלק המדומה והממשי של כל פונקציה אנליטית, ובעזרתו ניתן להוכיח טענות רבות.

למשל, אם f פונקציה שלמה ומתקיים \forall |z|=1 : f(z) \in \mathbb{R}, אז f קבועה, משום שמתקיים \forall |z|=1 : Im(f(z))=0 ולפי עקרון המקסימום \forall |z| \le 1: Imf(z)=0, ואז הפונקציה e^{if(z)}:D \to \{|z|=1\} איננה העתקה פתוחה, ולכן היא קבועה, ולכן גם f קבועה.