קואורדינטות כדוריות

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
מערכות צירים וקואורדינטות
מערכות צירים נפוצות
ראו גם

קואורדינטות כדוריות (נקראות גם קואורדינטות ספריות, באנגלית: Spherical coordinates) הן מערכת קואורדינטות המתארות את המרחב האוקלידי \ \mathbb{R}^3. כל נקודה במרחב מתוארת על ידי המרחק שלה מראשית הצירים והכיוון שלה במרחב (2 זוויות אוריינטציה הנקבעות ביחס לציר z וציר x במערכת צירים קרטזית).

בהרבה מקרים ובעיות פיזיקליות בהן יש סימטריה כדורית נוח לתאר את המרחב באמצעות קואורדינטות ספריות. בקואורדינטות אלה מחליפות \!\, r, \theta , \phi את x,y,z .

הגדרה[עריכת קוד מקור | עריכה]

קואורדינטות כדוריות - הגדרה

הגדרת הקואורדינטות הכדוריות (r, \theta , \phi) נעשית באמצעות אינטואיציה גאומטרית. נמתח חץ מן הראשית (0,0,0) אל הנקודה (x,y,z) ולחץ זה נקרא וקטור. אזי הקואורדינטות הכדוריות מוגדרות באופן הבא (ראו איור).

  • הקואורדינטה  r: קואורדינטה זו מייצגת את המרחק שבין הנקודה לראשית. קואורדינטה זו יכולה לקבל כל ערך ממשי לא-שלילי (כולל אפס).
  • הקואורדינטה \theta (תטה): קו-רוחב, מייצגת את הזווית שבין הווקטור לציר z, כאשר בזווית אפס הווקטור פונה כלפי מעלה. קואורדינטה זו יכולה לקבל כל ערך בין 0 לפאי. מסומנת באות היוונית \theta.
  • הקואורדינטה  \phi (פי): אזימוט, מייצגת את הזווית שבין ההיטל של הווקטור על מישור x-y לבין ציר x. קואורדינטה זו יכולה לקבל כל ערך בין 0 ל \ 2 \pi. מסומנת באות היוונית \phi.

בדרך זאת משיגים מערכת צירים ימנית. ישנם הסכמים ושימושים שונים הנוגעים לטווח השינוי של הקורדינאטות הכדוריות ,נדבוק בהסכם : ( r, \theta , \phi)\in [0,\infty)\times [0,\pi] \times [0,2\pi)

לכן, אם נתון לנו גוף ששיעוריו הכדוריים הם \,( r, \theta , \phi) אזי שיעוריו הקרטזיים \,( x, y , z) הם:

\, x = r \sin{\theta} \cos{\phi}
\, y = r \sin{\theta} \sin{\phi}
\, z = r \cos{\theta}

הטרנספורמציה ההפוכה נתונה בנוסחות הבאות:

\, r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}
\theta=\arccos\frac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}
\, \phi = \arctan \left( { y \over x } \right)

יש לשים לב: מכיוון שהזווית \phi מוגדרת מאפס עד שלוש מאות ושישים מעלות, יש להשתמש בפונקציה atan2(\phi) אשר מחזירה זווית בין  0 < \phi < 360 כתלות ברביע אף על פי ש atan הוא בעל מחזור של 180.

וקטורי היחידה[עריכת קוד מקור | עריכה]

בקואורדינטות קרטזיות אפשר לרשום את כיוונו של כל וקטור בצורה

\ \vec{A} = A_x \hat{e}_x + A_y \hat{e}_y + A_z \hat{e}_z = A_x \hat{x} + A_y \hat{y} + A_z \hat{z}

כאשר \ \hat{e}_i \ , \ i = \{ x, y, z \} הם וקטורי היחידה הקרטזיים (וקטורים אלה קבועים). באופן גאומטרי, וקטור היחידה x הוא וקטור המצביע בכיוון החיובי של ציר x ואורכו הוא 1 (ליתר דיוק נכון לומר שהנורמה שלו שווה ל 1), באותו אופן לגבי וקטורי היחידה בצירים y ו z.

אנו נרצה להציג באותה צורה את הווקטור גם בקואורדינטות ספריות:

\ \vec{A} = A_r \hat{e}_r + A_\theta \hat{e}_\theta + A_\phi \hat{e}_\phi

כאשר לוקטורים \ \hat{e}_j \ , \ j = \{ r, \theta , \phi \} נקרא "וקטורי היחידה הכדוריים".

אפשר לחשבם בכל נקודה במרחב ולקבל שהם נתונים על ידי


 \begin{matrix}
 \hat{r} = \hat{e}_r & = & ( \sin\theta \cos\phi ) \hat{x} & + ( \sin\theta \sin\phi ) \hat{y} & + ( \cos\theta ) \hat{z}  \\
 \hat{\theta} = \hat{e}_\theta  & = & ( \cos\theta \cos\phi ) \hat{x} & + ( \cos\theta \sin\phi ) \hat{y} & - ( \sin\theta ) \hat{z}  \\
  \hat{\phi} =  \hat{e}_\phi & = & ( - \sin\phi ) \hat{x}  & + ( \cos\phi ) \hat{y} & + (0) \hat{z}  \end{matrix}

כלומר: וקטורים אלה אינם קבועים במרחב, אלא כיוונם משתנה בהתאם לנקודה.

למרות זאת, וקטורים אלה עדיין שומרים על אורתונורמליות ומהווים שלשה אורתוגונלית ימנית: \ \hat{r} \times \hat{\theta} = \hat{\phi}.

יש לשים לב שעבור וקטור ההעתק, אף על פי שבקואורדינטות קרטזיות, הרכיבים שלו הן הקואורדינטות שלו, כלומר:

\ \vec{r} = x \hat{e}_x + y \hat{e}_y + z \hat{e}_z

או במפורש:

\  r_x(x,y,z) =x,
\  r_y(x,y,z) = y ,
\  r_z(x,y,z) = z ,

הרי, זה מקרה פרטי, ובמערכת קואורדינטות כדורית, וקטור המקום ייוצג כ:

\ \vec{r} = r \hat{e}_r(r,\theta,\phi)

כלומר

\   r_r(r,\theta,\phi)  =r ,
\  r_\theta(r,\theta,\phi) =  0 ,
\ r_\phi(r,\theta,\phi) =  0 .

תכונות מטריות[עריכת קוד מקור | עריכה]

המטריקה (כלומר: המרחק בין כל שתי נקודות) בקואורדינטות אלה נקבע על ידי הטנזור המטרי שנותן את אלמנט האורך הדיפרנציאלי. הטנזור המטרי כאן הוא מטריצה אלכסונית, שאלמנטיה השונים מאפס הם

\ g_{rr} = 1 \ , \ g_{\theta \theta} = r^2 \ , \ g_{\phi \phi} = r^2 \sin^2 \theta

ולכן אלמנט האורך הדיפרנציאלי הוא

\ d\vec{l} = ( dr ) \hat{r} + ( r d \theta ) \hat{\theta} + (r \sin\theta d\phi) \hat{\phi}


שטחים ונפחים[עריכת קוד מקור | עריכה]

מכיוון שמדובר במערכת צירים "עקומה", אלמנט הנפח האינפיניטסימלי כאן הוא לא פשוט מכפלה של \!\, d r, d \theta , d \phi . נסתכל על אלמנט נפח אינפינטסימלי שמונח על קליפה עבה של כדור, שהוא כל כך קטן עד שבקירוב די טוב הוא קובייתי. עוביו הוא \ dr , גובהו הוא \ r d \theta ואילו אורכו (ההיקף) הוא \  r  \sin{\theta} d \phi ולכן הנפח של אלמנט הנפח האינפינטסימלי יהיה

\!\, dV = r^2 \sin{\theta} \ dr \ d \theta\ d \phi .

באותו אופן אפשר לחשב גם את השטח של אלמנט השטח ואת האורך של אלמנט האורך האינפיניטסימלי.

אנליזה וקטורית[עריכת קוד מקור | עריכה]

אנליזה וקטורית היא כלי שימושי בבעיות פיזיקליות, לרבות בעיות פיזיקליות בעלות סימטריה כדורית. תחום זה מטפל בשינוי של שדות סקלריים ווקטוריים בזמן ובמרחב. מובאות כאן הנוסחאות השימושיות של נגזרות וקטוריות (גרדיאנט, דיברגנץ, רוטור ולפלסיאן) בקואורדינטות כדוריות:

d \vec l=(dr)\hat r + (rd\theta)\hat \theta + (r\sin (\theta)d\phi)\hat \phi \quad \Rightarrow \quad dV = r^2\sin \theta \cdot dr \cdot d\theta \cdot d\phi

גרדיאנט: \vec \nabla f = \frac{\partial f}{\partial r} \hat r + \frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial \theta} \hat \theta + \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial f}{\partial \phi} \hat \phi

דיברגנץ: \vec \nabla \mathbf{\cdot}\vec F = \frac{1}{r^2}\frac{\partial (r^2 F_r)}{\partial r}+\frac{1}{r\sin \theta}\frac{\partial (F_\theta \sin \theta)}{\partial \theta}+\frac{1}{r\sin \theta}\frac{\partial F_\phi}{\partial \phi}

רוטור: \vec \nabla \times \vec F = \frac{1}{r\sin \theta}\left( \frac{\partial (F_{\phi} \sin \theta )}{\partial \theta}-\frac{\partial F_{\theta}}{\partial \phi}\right)\hat r + \frac{1}{r}\left( \frac{1}{\sin \theta}\frac{\partial F_r}{\partial \phi}-\frac{\partial (r F_{\phi})}{\partial r}\right) \hat \theta + \frac{1}{r}\left( \frac{\partial (rF_{\theta})}{\partial r}-\frac{\partial F_r}{\partial \theta}\right)\hat \phi

לפלסיאן: \nabla^2 f = \frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left( r^2\frac{\partial f}{\partial r} \right) + \frac{1}{r^2\sin \theta}\frac{\partial}{\partial \theta}\left( \sin \theta \frac{\partial f}{\partial \theta}\right) + \frac{1}{r^2 \sin^2 \theta}\left( \frac{\partial ^2 f}{\partial \phi^2}\right)

ראו גם דל במערכות צירים שונות.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]