נקודת אי רציפות

באנליזה מתמטית, נקודת אי רציפות של פונקציה היא נקודה שבה הפונקציה אינה רציפה, כלומר היא אינה מוגדרת בנקודה זו, או שהיא מוגדרת אך ערכי הפונקציה בסביבתה של הנקודה לא מתקרבים אל ערכה בנקודה עצמה. נהוג לחלק את נקודות אי הרציפות לשלושה סוגים, על פי גבול הפונקציה בנקודת אי הרציפות.

הגדרה פורמלית

תהא $\ f$ פונקציה ותהא $\ a$ נקודה. נאמר כי $\ a$ היא נקודת אי רציפות של $\ f$ אם $\ \lim_{x\to a}f(x)\ne f(a)$ (ייתכן כי $\ f(a)$ כלל לא מוגדר). ניתן לחלק את אי הרציפות לשלושה סוגים:

1. אי רציפות סליקה: בנקודה $\ a$ קיימת אי רציפות סליקה אם הגבול $\ \lim_{x\to a}f(x)$ קיים. אי רציפות כזו נקראת "סליקה" שכן אפשר "לתקן" את הפונקציה $\ f$ על ידי הגדרת $\ f(a)=\lim_{x\to a}f(x)$ וכך תתקבל פונקציה שרציפה בנקודה $\ a$.
2. אי רציפות מהסוג הראשון ("קפיצה"): בנקודה $\ a$ קיימת אי רציפות מהסוג הראשון אם הגבול $\ \lim_{x\to a}f(x)$ אינו קיים, אך קיימים גבולות דרך סביבות חלקיות. למשל, אם הפונקציה היא פונקציה ממשית במשתנה יחיד וקיימים ושונים זה מזה הגבולות $\ \lim_{x\to a^+}f(x),\lim_{x\to a^-}f(x)$ יש לפונקציה אי רציפות מסוג ראשון.
3. אי רציפות מהסוג השני ("עיקרית"): בנקודה $\ a$ קיימת אי רציפות מהסוג השני אם לפחות אחד מהגבולות דרך סביבות חלקיות לא קיים. למשל, אם הפונקציה היא פונקציה ממשית במשתנה יחיד, אז יש אי רציפות מהסוג השני אם לפחות אחד מן הגבולות $\ \lim_{x\to a^+}f(x),\lim_{x\to a^-}f(x)$ אינו קיים (אינו ערך ממשי).

דוגמאות

1. הפונקציה $\ f(x)=\frac {\sin(x)}{x}$ אינה מוגדרת כלל בנקודה $\ x=0$, אך ידוע כי מתקיים $\ \lim_{x\to 0}f(x)=1$. על כן ניתן להגדיר $\ f(0)=1$ ותתקבל פונקציה שרציפה גם בנקודה $\ 0$. לכן $\ x=0$ היא נקודת אי רציפות סליקה של הפונקציה.
2. פונקציית מדרגה $H(x)=\left\{\begin{matrix} 0 & & x < 0 \\ 1 & & x \ge 0 \end{matrix}\right.$ רציפה בכל הישר פרט ל-$\ x=0$. בנקודה זו יש לה גבול מימין וגבול משמאל, ולכן זוהי נקודת אי רציפות מן הסוג הראשון.
3. הפונקציה $\ f(x)=\sin \left( \frac {1}{x} \right)$ היא בעלת אי רציפות מן הסוג שני בנקודה $\ x=0$ (בסביבת נקודה זו הפונקציה מתנודדת בקצב הולך וגדל ככל שמתקרבים ל-0 בין הערכים $\ 1$ ו-$\ -1$ ולכן לא קיים לה גבול, אפילו חלקי, בנקודה זו).

דוגמאות נוספות עם ייצוג גרפי

הפונקציה בדוגמה הראשונה

1. בפונקציה

$f(x)=\left\{\begin{matrix}x^2 & \mbox{ for } x< 1 \\ 2-x& \mbox{ for } x>1\end{matrix}\right.$

הנקודה $\,x_0=1$ היא נקודת אי רציפות סליקה.

הפונקציה בדוגמה השנייה

2. בפונקציה

$f(x)=\left\{\begin{matrix}x^2 & \mbox{ for } x< 1 \\ 2-(x-1)^2& \mbox{ for } x>1\end{matrix}\right.$

הנקודה $\,x_0=1$ היא נקודת אי רציפות מהסוג הראשון.

הפונקציה בדוגמה השלישית

3. בפונקציה

$f(x)=\left\{\begin{matrix}\sin\frac{5}{x-1} & \mbox{ for } x< 1 \\ & \\ \frac{0.1}{x-1}& \mbox{ for } x>1\end{matrix}\right.$

הנקודה $\,x_0=1$ היא נקודת אי רציפות מהסוג השני.