קבוצה בולעת

בערך זה נעשה שימוש בסימנים מוסכמים מתחום המתמטיקה. להבהרת הסימנים ראו סימון מתמטי.

במתמטיקה, ובפרט באנליזה פונקציונלית, קבוצה בולעת היא קבוצה במרחב וקטורי מעל הממשיים או המרוכבים, שניתן להרחיב אותה עד לנקודה שבה תכיל כל איבר מהמרחב.

לקבוצות מסוג זה חשיבות רבה, בפרט עבור מרחבים וקטוריים טופולוגיים בהם כל סביבה פתוחה של הראשית היא קבוצה בולעת.

בערך זה נסמן ב-$V$ מרחב וקטורי כלשהו. נסמן ב-$\mathbb {K}$ את השדה מעליו פועל $V$ כאשר $\mathbb {K} =\mathbb {R}$ (שדה הממשיים) או $\mathbb {K} =\mathbb {C}$ (שדה המרוכבים). כמו כן, עבור $A,B\subseteq V$, $v\in V$ ו-$\lambda \in \mathbb {K}$ נסמן:

$A+B:=\{a+b\mid a\in A,b\in B\}$

$A+v=v+A:=\{a+v\mid a\in A\}$

$\lambda A:=\{\lambda a\mid a\in A\}$

הגדרות מתמטיות

קבוצה בולעת קבוצה

בהינתן שתי קבוצות $A,B\subseteq V$ מוגדר כי $A$ בולעת את $B$ אם ורק אם מתקיימים התנאים השקולים הבאים:

1. קיים $r>0$ כך שלכל $c\in \mathbb {K}$ עבורו $|c|>r$ מתקיים $B\subseteq cA$.
2. קיים $r>0$ כך שלכל $c\in \mathbb {K}$ עבורו $|c|\geq r$ מתקיים $B\subseteq cA$.
3. קיים $r>0$ כך שלכל $0\neq c\in \mathbb {K}$ עבורו $|c|<r$ מתקיים $cB\subseteq A$.
4. קיים $r>0$ כך שלכל $0\neq c\in \mathbb {K}$ עבורו $|c|\leq r$ מתקיים $cB\subseteq A$.

התנאי ש-$c\neq 0$ בתנאים 3 ו-4 הוא תנאי הכרחי.

משמעות ההגדרה היא ש-$A$ בולעת את $B$ אם ורק אם ניתן להרחיב את $A$ עד לנקודה שממנה היא תמיד מכילה את $B$, או לחלופין ניתן לכווץ את $B$ עד לנקודה אשר ממנה היא תמיד תהיה מוכלת ב-$A$.

קבוצה בולעת נקודה

בהינתן קבוצה $A\subseteq V$ ונקודה $v\in V$ מוגדר כי $A$ בולעת את $v$ אם ורק אם מתקיימים התנאים השקולים הבאים:

1. הקבוצה $A$ בולעת את הקבוצה $\{v\}$
2. קיים $r>0$ כך שלכל $c\in \mathbb {K}$ עבורו $|c|>r$ מתקיים $v\in cA$.
3. קיים $r>0$ כך שלכל $c\in \mathbb {K}$ עבורו $|c|\geq r$ מתקיים $v\in cA$.
4. קיים $r>0$ כך שלכל $0\neq c\in \mathbb {K}$ עבורו $|c|<r$ מתקיים $cv\in A$.
5. קיים $r>0$ כך שלכל $0\neq c\in \mathbb {K}$ עבורו $|c|\leq r$ מתקיים $cv\in A$.

גם כאן התנאי ש-$c\neq 0$ בתנאים 4 ו-5 הוא תנאי הכרחי.

באופן דומה כפי שזו מוגדרת עבור בליעת קבוצות, בליעת נקודה מתאפשרת על-ידי הרחבת הקבוצה הבולעת או כיווץ הנקודה הנבלעת.

קבוצה בולעת

בהינתן קבוצה $A\subseteq V$, $A$ תקרא קבוצה בולעת, אם ורק אם היא מקיימת את התנאים השקולים הבאים:

1. הקבוצה $A$ בולעת את $v$ לכל $v\in V$.
2. לכל $v\in V$ קיים $r>0$ כך שלכל $c\in \mathbb {K}$ עבורו $|c|>r$ מתקיים $v\in cA$.
3. לכל $v\in V$ קיים $r>0$ כך שלכל $c\in \mathbb {K}$ עבורו $|c|\geq r$ מתקיים $v\in cA$.
4. לכל $v\in V$ קיים $r>0$ כך שלכל $0\neq c\in \mathbb {K}$ עבורו $|c|<r$ מתקיים $cv\in A$.
5. לכל $v\in V$ קיים $r>0$ כך שלכל $0\neq c\in \mathbb {K}$ עבורו $|c|\leq r$ מתקיים $cv\in A$.

התנאי ש-$c\neq 0$ בתנאים 4 ו-5 הוא תנאי הכרחי. קבוצה בולעת היא למעשה קבוצה שניתן להרחיב אותה עד שתכיל כל נקודה במרחב.

תכונות

• מאחר שכל קבוצה בולעת בולעת גם את הראשית, כל קבוצה בולעת מכילה את הראשית. כלומר, אם $A\subseteq V$ קבוצה בולעת אז בהכרח $0\in A$.
• עבור כל מרחב וקטורי, המרחב כולו מהווה קבוצה בולעת.
• קבוצה המכילה קבוצה בולעת, היא קבוצה בולעת.
• כיווץ או הרחבה של קבוצה בולעת מהווה קבוצה בולעת. כלומר, אם $A\subseteq V$ ו-$0\neq \lambda \in \mathbb {K}$ אז $\lambda A$ היא קבוצה בולעת.
• חיתוך של שתי קבוצות בולעות היא קבוצה בולעת. כלומר, אם $A,B\subseteq V$ שתיהן קבוצות בולעות אז $A\cap B$ היא קבוצה בולעת.
• נובע מהתכונה לעיל כי כל חיתוך סופי של קבוצות בולעות הוא קבוצה בולעת.
• עבור מרחב וקטורי טופולוגי, כל סביבה פתוחה של הראשית היא קבוצה בולעת.
• עבור כל קבוצה בולעת $A\subseteq V$ קיימת נורמה-למחצה $p$ עבורה $A$ היא בדיוק כדור היחידה לפי $p$. נורמה למחצה זו היא פונקציונל מינקובסקי של $A$.
• לכל קבוצה בולעת $A\subseteq V$ קיימת קבוצה בולעת אחרת $B\subseteq V$ כך ש-$B+B\subseteq A$. למעשה בהכרח גם $B\subseteq A$.
• קבוצת כל הקבוצות הבולעות עבור מרחב וקטורי כלשהו מהווה מסנן.

ראו גם

• קבוצה מאוזנת
• קבוצה חסומה
• קבוצה קומפקטית
• קבוצה קמורה
• קבוצה קמורה לחלוטין
• קבוצה פתוחה
• קבוצה סגורה

לקריאה נוספת

• קבוצה בולעת, באתר MathWorld (באנגלית)

קישורים חיצוניים

• קבוצה בולעת, באתר MathWorld (באנגלית)

הערות שוליים

יש_בדף_תבנית_MathWorld_טקס