משוואה ממעלה שלישית

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

משוואה ממעלה שלישית או משוואה מעוקבת היא משוואה מהצורה

\ x^3 + a x^2 + b x + c = 0

כאשר \ a,b,c הם מקדמים בשדה נתון (למשל, המספרים הרציונליים). אם השדה ממאפיין שונה מ- 3, אפשר להציב \ x=y-a/3 ולקבל משוואה ממעלה שלישית שבה המקדם של \ y^2 הוא אפס.

היסטוריה[עריכת קוד מקור | עריכה]

Postscript-viewer-shaded.png ערך מורחב – היסטוריה של פתרון המשוואות ממעלה שלישית ורביעית

בעוד שאת המשוואה ממעלה שנייה ידעו לפתור היוונים (וכנראה גם הבבלים), פתרונה של המשוואה ממעלה שלישית לא היה ידוע עד תחילת המאה ה-16. המתמטיקאים באותו זמן עדיין לא 'הכירו' במספרים שליליים, וכך הם התייחסו למשוואות \ x^3 + p x + q = 0 או \ x^3 + p x = q (כאשר \ p,q שלמים חיוביים) כאל בעיות נבדלות.

ב-1515 גילה המתמטיקאי האיטלקי שיפיונה דל פרו איך לפתור חלק מן המשוואות ממעלה שלישית. באותה תקופה היו מתמטיקאים מתחרים זה בזה בפתרון משוואות, ולכן הסתיר דל פרו את הפתרון שלו. ב-1535 גילה האיטלקי ניקולו טרטליה מחדש את אותם פתרונות וסיפר עליהם לג'ירולמו קרדאנו, שהשלים את המקרים החסרים ופרסם אותם בספרו "האמנות הגדולה". את המשוואה ממעלה רביעית הצליחו לפתור זמן קצר אחר-כך, ב-1545.

פתרונה של המשוואה ממעלה שלישית היה ההישג האמיתי הראשון של המתמטיקאים בראשית תקופת הרנסאנס, ובכך הוא סייע לשבור את ה'שיתוק' שאחז בהם מאז תחילת ימי הביניים. בנוסף, פתרונו של קרדנו 'אילץ' את המתמטיקאים להתייחס ברצינות למספרים המרוכבים, משום שפתרונות 'אמיתיים' (דהיינו, ממשיים) מתקבלים לפעמים תוך מניפולציות של מספרים מרוכבים.

פתרון משוואה ממעלה שלישית[עריכת קוד מקור | עריכה]

כפי שהוסבר במבוא, אפשר להניח שהמקדם של \ x^2 במשוואה הוא 0. נפתור, אם כן, את המשוואה הבאה:

\ x^3 + p x + q = 0

(כאשר \ p,q הם מקדמים כלשהם בשדה, ללא שום הנחות על היותם חיוביים). אם נכתוב \ x=\beta+\gamma, אז

\ x^3=\beta^3+\gamma^3+3\beta\gamma(\beta+\gamma) = \beta^3+\gamma^3+3\beta\gamma x

נציב זאת במשוואה:

\ \beta^3+\gamma^3+(3\beta\gamma+p)x +q = 0

כאן החלפנו משתנה אחד (\ x) בשניים (\ \beta ו-\ \gamma), ולכן מותר להוסיף אילוץ חדש. אם נניח ש-\ 3\beta\gamma=-p, המשוואה תהפוך להיות

\ \beta^3+\gamma^3=-q

אבל מן האילוץ יוצא \ \beta^3\gamma^3=-p^3/27, כלומר שגם הסכום וגם המכפלה של \ \beta^3 ו- \ \gamma^3 ידועים. מן הסכום והמכפלה קל להרכיב משוואה ממעלה שנייה, שפתרונותיה הם \ \beta^3 ו-\ \gamma^3. על ידי הוצאת שורש שלישי אפשר למצוא את \ \beta, ומן האילוץ מקבלים גם את \ \gamma ולכן את סכומם \ x.

דוגמה[עריכת קוד מקור | עריכה]

נפתור את המשוואה:

\ y^3-6y^2-67y+360=0.

כדי להפטר מן המקדם של \ y^2, נציב \ x=y-2, כלומר \ y=x+2. המשוואה הופכת להיות:

\ x^3-79x+210=0.

נכתוב \ x=\beta+\gamma, כאשר \ \gamma = 79/(3\beta), והמשוואה תהפוך ל-

\ \beta^6+210\beta^3+(79/3)^3=0

זוהי משוואה ריבועית, שהפתרונות שלה הם \ \beta^3=-105\pm \frac{442}{9}\sqrt{-3}.

למעשה, מכיוון שהתפקידים של \ \beta ו- \ \gamma סימטריים מלכתחילה, אפשר לבחור אחד מן השורשים ולהניח ש- \ \beta^3=-105 + \frac{442}{9}\sqrt{-3}

(ואז \ \gamma^3=-105 - \frac{442}{9}\sqrt{-3}).

כעת, לכל אחד משלושת הערכים (המרוכבים) של \ \beta = \sqrt[3]{-105 + \frac{442}{9}\sqrt{-3}} יש לחשב את \ \gamma = 79/(3\beta),

ומתקבל פתרון \ x=\beta+\gamma של המשוואה.

הביטויים המתקבלים אמנם מסובכים למדי; שלושת הפתרונות למשוואה שלנו הם \ x=-10,3,7 (ולמשוואה המקורית \ y=-8,5,9).

פתרון משוואה ממעלה שלישית באמצעות נוסחה[עריכת קוד מקור | עריכה]

עבור המשוואה: ax^3 + bx^2 + cx + d =0 \, נפתור באמצעות הצבה בנוסחה הבאה:

q = \frac{3ac-b^2}{9a^2}
r = \frac{9abc - 27a^2d - 2b^3}{54a^3}
s = \sqrt[3]{r + \sqrt{q^3+r^2}}
t = \sqrt[3]{r - \sqrt{q^3+r^2}}

הערה: במקרה ובו מתקבל בתוך השורש הריבועי מספר שלילי, כך שבתוך השורש השלישי יש מספר מרוכב \ R(\cos\theta + i \sin\theta) אז יש לבחור את התוצאות כך שהזווית \, \theta תהיה זהה הן ב- \, s והן ב-\, t.

הפתרונות הם:

x_1 = s+t-\frac{b}{3a},
x_2 = -\frac{1}{2}(s+t)-\frac{b}{3a}+\frac{\sqrt{3}}{2}(s-t)i,
x_3 = -\frac{1}{2}(s+t)-\frac{b}{3a}-\frac{\sqrt{3}}{2}(s-t)i.

שיטת קרדאנו[עריכת קוד מקור | עריכה]

ראשית לפני שנציב בנוסחה לפתרון משוואה ממעלה שלישית לפי שיטה זו, עלינו לחלק את המשוואה הנ"ל במקדם של \ x^3 כך שתתקבל לפנינו משוואה מן הצורה: \ x^3 + a x^2 + b x + c = 0

עכשיו נציב:

p = b - \frac{a^2}3
q = c + \frac{2a^3-9ab}{27}
u=\sqrt[3]{-{q\over 2}+ \sqrt{{q^{2}\over 4}+{p^{3}\over 27}}}+\sqrt[3]{-{q\over 2}- \sqrt{{q^{2}\over 4}+{p^{3}\over 27}}}
x=-\frac{p}{3u}+u-{a\over 3}

שימו לב: \ u שווה לשורש שלישי של מספר מסוים ועל כן יש לו שלושה פתרונות אפשריים, שהם \ u_1, u_2, u_3. עבור כל \ u שנציב יתקבל פתרון שונה (ונכון) עבור \ x.

היתרונות של השיטה הזו לעומת השיטה הקודמת שהנוסחה הרבה יותר קצרה וניתן ללמוד אותה בעל פה ביתר קלות, אולם השימוש במספרים מרוכבים בנוסחה זו מסובך יותר מבנוסחה הקודמת ועל כן יש המחשיבים נוסחה זו למסובכת מן השנייה.

הרחבת שדות על ידי פולינום ממעלה שלישית[עריכת קוד מקור | עריכה]

חבורת גלואה של פולינום אי-פריק ממעלה שלישית היא תת-חבורה טרנזיטיבית של החבורה הסימטרית על שלושת השורשים, ולכן היא שווה לתת-החבורה \ A_3 של התמורות הזוגיות, או לחבורה הסימטרית כולה. במקרה הראשון, למשוואה הריבועית שהוזכרה להלן יש שורשים בשדה (ואז נסמן K=F), ובמקרה השני פתרון המשוואה הריבועית מצריך הרחבה ריבועית K של F. בשני המקרים, הפולינום מתפרק לגורמים לינאריים אחרי הרחבה רדיקלית מסדר 3 של השדה K.

אפשר להפריד בין שני המקרים בעזרת הדיסקרימיננטה של הפולינום, שאותה אפשר לחשב באמצעות הנוסחה \ \Delta(\lambda^3-a\lambda+b) = 4a^3-27b^2. כאשר הפולינום f אי-פריק, הדיסקרימיננטה שלו היא ריבוע בשדה הבסיס, אם ורק אם ההרחבה \ F[x]/F[x]\cdot f היא הרחבת גלואה. לעומת זאת, הדיסקרימיננטה של פולינום פריק ממעלה 3 היא ריבועית אם ורק אם הוא מתפצל לגורמים לינאריים (משום ש- \ \Delta((x-\alpha)\cdot g(x)) = g(\alpha)^2 \Delta(g) ).

בפרט, הדיסקרימיננטה קובעת כמה פתרונות יש למשוואה ממעלה שלישית מעל הממשיים: אם הדיסקרימיננטה חיובית יש שלושה פתרונות ממשיים, ואם היא שלילית יש למשוואה פתרון אחד ממשי ושניים מרוכבים (צמודים זה לזה).

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]

לקריאה נוספת[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • שבתאי אונגורו, מבוא לתולדות המתמטיקה (בשני חלקים), הוצאת האוניברסיטה המשודרת, 1989.
  • An Introduction to the Theory of Groups, J.J.Rotman, פרק 5, הוצאת Springer-Verlag.
  • ג'ודי ואריה מלמד-כץ, "הגמר הגדול של שנת 1548", גליליאו 97, ספטמבר 2006.