שלשה פיתגורית

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

שלשה פיתגורית (או שלשה פיתגוראית) היא שלשה של מספרים שלמים המקיימת את השוויון $\ a^2 + b^2 = c^2$ , המופיע במשפט פיתגורס. משולש שצלעותיו מהוות שלשה פיתגורית הוא משולש ישר זווית. השלשה הפיתגורית הקטנה ביותר, 3,4,5, הייתה ידועה משחר ההיסטוריה, ומשערים שהמשולש ישר הזווית שמתקבל ממנה שימש להעברת אמות מים עוד במצרים הקדומה.

כל שלשה פיתגורית אפשר להכפיל בגורם קבוע שלם, ולקבל שלשה פיתגורית חדשה (אם $\ a,b,c$ היא שלשה פיתגורית, אז $\ a^2+b^2=c^2$ ולכן גם $\ (ak)^2+(bk)^2=(ck)^2$ , כך ש- $\ ak,bk,ck$ גם היא שלשה פיתגורית). שלשה פיתגורית שלא ניתן לקבל כמכפלה של שלשה פיתגורית אחרת בקבוע שלם גדול מ-1 נקראת שלשה פרימיטיבית: אלו הן השלשות $\ a,b,c$ שבהן המחלק המשותף המקסימלי הוא 1; בשלשה כזו, המחלק המשותף המקסימלי של כל שני מספרים הוא 1.

להלן רשימת 16 השלשות הפרימיטיביות בהן c ≤ 100:

( 3, 4, 5)	( 5, 12, 13)	( 7, 24, 25)	( 8, 15, 17)
( 9, 40, 41)	(11, 60, 61)	(12, 35, 37)	(13, 84, 85)
(16, 63, 65)	(20, 21, 29)	(28, 45, 53)	(33, 56, 65)
(36, 77, 85)	(39, 80, 89)	(48, 55, 73)	(65, 72, 97)

תוכן עניינים

1 פרמטריזציה של התבנית הריבועית
2 העץ הטרנרי של השלשות הפיתגוריות
- 2.1 משפט רוברטס
3 שלשות פיתגוריות מיוחדות
- 3.1 קשר למספרי פיבונאצ'י
4 הכללות
5 קישורים חיצוניים

[עריכה] פרמטריזציה של התבנית הריבועית

אפשר לייצר אינסוף שלשות פיתגוריות באמצעות הנוסחה $\ a=2st,\ b =s^2-t^2,\ c= s^2 +t^2$ , כאשר $\ s,t$ מספרים טבעיים. ההוכחה שאלו אכן שלשות פיתגוראיות היא על ידי חישוב ישיר: $\ (2st)^2+(s^2-t^2)^2=s^4+2s^2t^2+t^4=(s^2+t^2)^2$ . משערים שנוסחה זו הייתה ידועה כבר לבבלים, שיצרו לוח בכתב יתדות (לוח פלימפטון 322) המתוארך לתקופה שבין 1900 ל- 1600 שנים לפני הספירה וכולל חמש-עשרה שלשות פיתגוראיות, ובהן $\ 1771^2+2700^2=3229^2$ (אותה אפשר לקבל אם נבחר $\ s=50,\ t=27$ ).

בפרט, אם נציב $\ s=t+1$ נקבל את השלשות $\!\,b=2t+1, a=2t(t+1)=\frac{b^2-1}{2} ,c= 2t^2+2t+1=\frac{b^2+1}{2}$ . לכן כל מספר אי-זוגי הוא חלק משלשה פיתגורית פרימיטיבית, ומכאן שיש אינסוף שלשות פיתגוריות פרימיטיביות.

משפט. כל שלשה פיתגורית פרימיטיבית אפשר להציג באמצעות הנוסחה שבראש הסעיף, כאשר s,t זרים ואחד מהם זוגי.

הוכחה. נבחין שאם $\ a,b,c$ שלשה פרימיטיבית, אז $\ c$ מוכרח להיות אי-זוגי, וכן גם אחד (בדיוק) מבין המספרים $\ a,b$ (זאת משום שריבוע משאיר תמיד שארית 0 או 1 בחלוקה ל- 4). נניח שלמספר הזוגי בשלשה קוראים $\ a$ . מן השוויון $\ a^2+b^2=c^2$ נובע $\ a^2=c^2-b^2=(c-b)(c+b)$ , כאשר $\ c-b$ ו- $\ c+b$ שניהם זוגיים. מכיוון ש- $\ b,c$ זרים, המחלק המשותף המקסימלי של $\ c-b$ ו- $\ c+b$ הוא בדיוק 2, ומכיוון שמכפלתם $\ a^2$ היא ריבוע, יוצא שכל אחד מן הגורמים הוא פעמיים ריבוע. אם נכתוב $\ c+b=2s^2$ ו- $\ c-b=2t^2$ נקבל את ההצגה הדרושה. כעת s,t זרים משום שכל מחלק משותף שלהם מחלק גם את a,b,c, ואחד מהם זוגי משום שאחרת a,b ו-c כולם זוגיים.

מכאן אפשר לקבל נוסחה כללית לכל השלשות הפיתגוריות: $\ (2stk, (s^2-t^2)k, (s^2+t^2)k)$ , כאשר s,t זרים ואחד מהם זוגי; כל שלשה מוצגת כך באופן יחיד (משום ש-k הוא המחלק המשותף המקסימלי של שלושת המספרים). זוהי דוגמה לפתרון של משוואה המתקבלת מתבנית ריבועית עם נקודה רציונלית. יש שלשות, כגון $\ (9,12,15)$ , שלא ניתן להציג עם $\ k=1$ (במקרה זה, משום ש-15 אינו סכום של שני ריבועים).

על ידי בחינת הערכים האפשריים של s ו- t מודולו מספר קבוע n, אפשר להסיק אילו שאריות יכולה לקבל שלשה פרימיטיבית בחלוקה ל-n. לדוגמה, בדיוק אחד מבין המספרים a,b מתחלק ב-4, ואילו השני אי-זוגי; גם c אי-זוגי, אך הוא אינו שקול ל-b מודולו 8 (בפרט, מספר הנותן שארית 2 בחלוקה ל-4 אינו יכול להופיע בשלשה פיתגורית פרימיטיבית). בדומה לזה, בדיוק אחד משני המספרים a ו-b מתחלק ב-3, ובדיוק אחד מבין השלושה מתחלק ב-5.

מכיוון ש-c הוא סכום של שני ריבועים (זרים זה לזה), כל גורם ראשוני של c הוא מהצורה $\ 4n+1$ .

כל מספר טבעי שאינו נותן שארית 2 בחלוקה ל-4 יכול להופיע בשלשה פרימיטיבית. מספר השלשות שבהן הוא מופיע בתפקיד a שווה ל- $\ 2^{s-1}$ כאשר s הוא מספר הגורמים הראשוניים השונים של N.

[עריכה] העץ הטרנרי של השלשות הפיתגוריות

אם $\, a,b,c$ שלשה פיתגורית, אז המספרים $\ m = c-b, n = c-a, q = a+b-c$ מקיימים את היחס $\ q^2 = 2mn$ ; ולהיפך, אם $\ (m,n,q)$ מקיימים את היחס הזה, אפשר לבנות מהם שלשה פיתגורית באמצעות הטרנספורמציה ההפוכה: $\ a = q+m,\ b=q+n,\ c=q+m+n$ . במלים אחרות, אם מגדירים $\ T(a,b,c)=(c-b,c-a,a+b-c)$ , אז T מעבירה את היריעה $\ \{(a,b,c):a^2+b^2=c^2\}$ ליריעה $\ \{(m,n,q): q^2=2mn\}$ . היתרון הוא, כמובן, שאת המשוואה השניה קל יותר לפתור (במספרים שלמים). השלשה $\ (a,b,c)$ פרימיטיבית אם ורק אם $\ m,n$ זרים.

[עריכה] משפט רוברטס

משפט. הווקטור $\begin{pmatrix} a & b & c \end{pmatrix}$ מהווה שלשה פרימיטיבית אם ורק אם הוא ניתן להצגה כ $\begin{pmatrix} 3 & 4 & 5 \end{pmatrix} \cdot M$ , כאשר M היא מכפלה של מספר סופי של מטריצות מבין: $T_1= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 \\ -2 & -1 & -2 \\ 2 & 2 &3 \end{pmatrix}$ , $T_2= \begin{pmatrix} -1 & -2 & -2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 &3 \end{pmatrix}$ , $T_3= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 &3 \end{pmatrix}$ .

יצוג השלשות כעץ טרנרי. בדרך זו, ניתן להציג את כל השלשות הפרימיטיביות בעץ טרנרי, עץ שבו לכל קודקוד יש בדיוק שלושה בנים. שורש העץ יהיה השלשה $\begin{pmatrix} 3 & 4 & 5 \end{pmatrix}$ . לכל שלשה $P= \begin{pmatrix} a & b & c \end{pmatrix}$ , יהיו שלושה בנים: $P_1=P \cdot T_1 \quad P_2=P \cdot T_2 \quad P_3=P \cdot T_3 \quad$

רעיון ההוכחה. לכל שלושה מספרים טבעיים המהווים שלשה פיתגורית $P= \begin{pmatrix} a & b & c \end{pmatrix}$ נגדיר את השלשות המסומנות המתקבלות ממנה: $P_1= \begin{pmatrix} -a & b & c \end{pmatrix}$ , $P_2= \begin{pmatrix} a & -b & c \end{pmatrix}$ , $P_3= \begin{pmatrix} -a & -b & c \end{pmatrix}$ . נגדיר את ה'תאום' של שלשה המתאימה ל- $\ (m,n,q)$ השלשה המתקבלת מהחלפת $\ q$ ב $\ -q$ . יהיו ${P_1} \prime, {P_2}\prime , {P_3}\prime$ תאומי-mnq של $P 1, P 2, P 3$ בהתאמה. מניתוח התהליך ניתן להסיק כי ${P_1}\prime , {P_2}\prime , {P_3}\prime$ הן שלשות פיתגוריות של מספרים טבעיים וכי לכל i=1,2,3 מתקיים : ${P_i}\prime=P \cdot T_i$ כדי להוכיח את הכיוון ההפוך מוצאים לכל שלשה פיתגורית (לא מסומנת) $P= \begin{pmatrix} a & b & c \end{pmatrix}$ את התאום שלה $P \prime= \begin{pmatrix} a \prime & b \prime & c \prime \end{pmatrix}$ ומבצעים תהליך דומה.

[עריכה] שלשות פיתגוריות מיוחדות

פייר דה פרמה מצא שלשה פיתגורית a,b,c כך ש a+b ו- c ניתנים להצגה כריבוע של מספר טבעי:

$a=4565486027761 \quad b=1061652293520 \quad c=4687298610289 \quad a+b=2372159^2 \quad c=2165017^2$

לא ייתכנו שלשות פיתגוריות בהן a ו- b הם ריבועים של מספרים שלמים.

קיימות שלשות פיתגוריות שונות עם אותו ערך של המכפלה ab. למשל, בשלשות 24,70,74, 40,42,58 ו-15,112,113 מתקיים ab=1680.

לא ידוע האם קיימות שלשות עבורן abc זהה.

קיימות שלשות פיתגוריות שכל אחד משלושת אבריהן הוא פלינדרום. למעשה, לכל פלינדרום N שספרותיו 0 או 1, השלשה 3N,4N,5N היא שלשה פיתגורית שכל אחד מאיבריה הוא פלינדרום. למשל עבור N=101 נקבל את השלשה 303,404,505.

[עריכה] קשר למספרי פיבונאצ'י

סדרת פיבונאצ'י היא סדרה שכל איבר מאיבריה הוא סכום של שני קודמיו, כאשר שני האיברים הראשונים הם המספר 1. מכל ארבעה מספרי פיבונאצ'י עוקבים ניתן ליצור שלשה פיתגורית באופן הבא:

מכפלת האיבר הראשון ברביעי
מכפלת האיבר השני בשלישי, כפול שתיים
סכום הריבועים של האיבר השני והשלישי

כך, לדוגמה, עבור 1,1,2,3 תתקבל השלשה הפיתגורית {3,4,5}, ועבור 1,2,3,5 תתקבל השלשה {5,12,13}. ניתן להוכיח טענה זו בנקל.

[עריכה] הכללות

הכללה מפורסמת של בעיה זו היא המשפט האחרון של פרמה הקובע שאין פתרון בשלמים למשוואה $a n + b n = c n$ עבור חזקות הגדולות מ-2.
משוואת לז'נדר, על שמו של המתמטיקאי אדריאן-מארי לז'נדר: