אלגברה פשוטה מרכזית

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

במתמטיקה, אלגברה פשוטה מרכזית הנה אלגברה פשוטה מממד סופי מעל המרכז שלה. האלגבראות הפשוטות הנן אבני היסוד בתורת המבנה של אלגבראות, ומחקרן תורם להבנת המבנה הכללי של חוגים. לאובייקטים אלו מבנה עשיר, הקשור גם לתחומים אחרים במתמטיקה, כמו תורת הקוהומולוגיה של מבנים אלגבריים שונים.

תורת המבנה[עריכת קוד מקור | עריכה]

על פי משפט ודרברן-ארטין, כל אלגברה פשוטה מרכזית מעל שדה איזומורפית לחוג מטריצות מעל חוג עם חילוק ; חוג זה יחיד עד כדי איזומורפיזם, ומהווה אף הוא אלגברה פשוטה מרכזית (מעל אותו השדה). נובע כי הממד של אלגברה פשוטה מרכזית הוא מספר ריבועי. המכפלה הטנזורית של אלגבראות פשוטות מרכזיות אף היא פשוטה מרכזית (על פי משפט המרכז הכפול). על פי משפט סקולם-נתר, כל אוטומורפיזם של אלגברה פשוטה מרכזית הוא אוטומורפיזם פנימי - כלומר, הצמדה באיבר מהאלגברה; משפט זה מאפשר להוכיח טענות רבות בתחום.

האינדקס של האלגברה הפשוטה המרכזית הנו הממד של חוג החילוק הליבתי שלה: . בהינתן פירוק לגורמים ראשוניים של האינדקס, , ניתן לכתוב כאשר אלגברת חילוק מממד . לכן, כל אלגברה פשוטה מרכזית ניתן להביא למבנה .

דוגמאות[עריכת קוד מקור | עריכה]

הדוגמה הבסיסית לאלגבראות פשוטות מרכזיות היא מעל שדה המספרים הממשיים , הכוללות את שדה הממשיים עצמו , שדה המספרים המרוכבים ואלגברת הקווטרניונים של המילטון , ואת כל חוגי המטריצוח מעליהם. כמסקנה ממשפט הורוויץ, המסווג תכונות של אלגבראות הרכבה מעל שדות ממאפיין לא 2, אלו הן האלגבראות הפשוטות (האסוציאטיביות) היחידות מעל שדה הממשיים.

דוגמאות מעט כלליות יותר לאלגבראות פשוטות מרכזיות הן האלגבראות ציקליות, המכילות תת-שדה גלואה מקסימלי המהווה הרחבה ציקלית מעל שדה הבסיס; מבנים אלו כוללים בפרט את כל אלגבראות הקווטרניונים - אלגבראות ציקליות מממד 4, הכוללות את כל האלגבראות הפשוטות המרכזיות מממד 4.

חבורת בראוור[עריכת קוד מקור | עריכה]

Postscript-viewer-shaded.png ערך מורחב – חבורת בראוור

לאחר היכרות בסיסית עם מבנה האלגבראות הפשוטות המרכזיות, ניתן להגדיר את חבורת בראוור. שתי אלגבראות פשוטות מרכזיות מעל אותו שדה הנן שקולות לפי יחס בראוור אם יש להן אותה אלגברת חילוק ליבתית, כלומר ו-. כעת, חבורת בראוור של השדה הנה חבורה אשר איבריה הם מחלקות השקילות הללו, בה הפעולה הנה מכפלה טנזורית והאיבר ההפכי הוא האלגברה המנוגדת.

בהינתן הרחבת גלואה , חבורת בראוור היחסית להרחבה זו הנה החבורה המכילה את כל האלגבראות המפוצלות על ידי השדה . איחוד על כל הרחבות הגלואה של חבורות הבראוור היחסיות נותן את חבורת בראוור של השדה.

חבורת בראוור הנה אובייקט בעל מבנה עשיר ומעניין, הקשור גם לתורת הקוהומולוגיה של מבנים אלגבריים. למידת מבנה החבורה ותכונותיה מאפשרת הסקת מסקנות אודות תיאורית המבנה של אלגבראות פשוטות מרכזיות.

הכללה - אלגבראות ספרביליות מרכזיות[עריכת קוד מקור | עריכה]

Postscript-viewer-shaded.png ערך מורחב – אלגברת אזומיה

הכללה טבעית למבנה זה הנה למקרה שבו מבנה הבסיס איננו שדה; במקרה זה, חוקרים אלגבראות ספרביליות מרכזית - אלו הן אלגבראות נאמנות, ספרביליות ומרכזיות מעל חוג בסיס נתון. תכונות מבנה רבות שמתקיימות בתורה שהוצגה לעיל, נשמרות גם כאשר עוברים למקרה הכללי יותר (כמו מכפלות טנזוריות, משפט המרכז הכפול). בפרט, ניתן להגדיר את חבורת בראוור של חוג באופן דומה כלעיל.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]