בעיית וארינג

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

בתורת המספרים, בעיית וארינג שואלת האם לכל מספר טבעי יש חסם עליון על מספר החזקות ה-k-יות הנדרשות כדי להציג כל מספר טבעי. את הבעיה הציע בשנת 1770 אדוארד וארינג.

הילברט הוכיח שאכן כך הדבר בשנת 1909. על כן אפשר להגדיר פונקציה , כך שכל מספר טבעי אפשר להציג כסכום של חזקות k-יות, אבל לא כסכום של פחות מכך. לדוגמה, . חישוב פשוט מראה שכדי להציג את המספר 7 דרושים 4 ריבועים, עבור 23 דרושים 9 מספרים בחזקה השלישית, וכדי להציג את 79 דרושים 19 מספרים בחזקה הרביעית. אלו הם חסמים תחתונים על עבור בהתאמה.

משפט ארבעת הריבועים של לגראנז' אומר שניתן להציג כל מספר טבעי כסכום של לכל היותר ארבעה ריבועים; מכיוון ש-7 דורש ארבעה ריבועים, הרי נובע מכך ש . ההשערה של משפט זה הוצעה בשנת 1640 על ידי פרמה.

במהלך השנים נקבעו חסמים נוספים, בשימוש בטכניקות מתוחכמות ומסובכות יותר ויותר. לדוגמה, ליוביל הראה ש הוא לכל היותר 53. הארדי וליטלווד הראו שכל מספר גדול מספיק הוא סכום של לכל היותר 19 מספרים בחזקה הרביעית.

ויפריך וקמפנר הראו ש בעבודתם בין השנים 1909 עד 1912. בשנת 1986 הוכיחו בלאסוברמיאן, דרס, ודשויירז ש-. ג'נגרון הראה ש- בשנת 1964. פילאי הוכיח ש- בשנת 1940.

כל הערכים של ידועים כיום, הודות לעבודתם של דיקסון, פילאי, רבגנדיי וניבן. הנוסחה שלהם היא: לכל , כאשר הוא הערך השלם של , שהוא המספר השלם הגדול ביותר שאינו עולה על . הנוסחה בעצם יותר מסובכת כי במקרה ש אז הנוסחה ל שונה, אמנם עד עכשיו לא מצאו אף מספר כזה, ונבדקו כל המספרים שהם קטנים מ-471600000, וידוע שיש ככל האפשר מספר סופי של יוצאי דופן כאלה.

ערכי הראשונים הם:

1, 4, 9, 19, 37, 73, 143, 279, 548, 1079, 2132, 4223 ,8384, 16673, 33203, 66190, 132055, ...

בעיה דומה, אבל קשה בהרבה, שואלת מהו המספר הקטן ביותר של חזקות- הדרוש להצגת כל המספרים פרט למספר סופי של יוצאי דופן (או בניסוח שקול: המספר הקטן ביותר הדרוש כדי להציג כל מספר גדול מספיק). ברור ש-. שלא כמו בפונקציה , מספרים בעייתיים כגון 23 או 79 אינם מסייעים בהערכה של , והערכים המדויקים של פונקציה זו אינם ידועים (פרט ל- שנובע מעבודתם של לגראנז' וגאוס, שאפיינו את כל המספרים שאפשר להציג בשלושה ריבועים, ו- שהוכח על ידי דוונפורט בשנת 1939). עבור חזקות שלישיות ידוע רק ש- (נכון ל- 2005).

עוד פונקציה דומה נקראת ( בעבודות של וולי) שהיא המספר הקטן ביותר של חזקות- הדרוש להצגת כמעט כל המספרים (כלומר, שהיחס בין מספר יוצאי הדופן שקטנים מ- ובין יתכנס ל-0 כאשר ילך ויגדל). ברור ש- . נכון ל-2006 ידוע 5 ערכים מדויקים של פונקציה זו בנוסף ל- . הם , , , , ו-.