התכנסות חלשה (מרחב הילברט)

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש
Nuvola apps edu mathematics blue-p.svg

בערך זה
נעשה שימוש
בסימנים מוסכמים
מתחום המתמטיקה.
להבהרת הסימנים
ראו סימון מתמטי.

התכנסות חלשה של סדרה במרחב הילברט היא ההתכנסות המושרת מהטופולגיה החלשה עליו.

הגדרה[עריכת קוד מקור | עריכה]

סדרת נקודות במרחב הילברט H מתכנסת חלש ל־ אם לכל , . זוהי ההתכנסות בטופולוגיה החלשה. לעיתים התכנסות זו נרשמת באופן הבא:.

תכונות[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • אם סדרת נקודות מתכנסת ל־x אז היא מתכנסת אליו חלש לפי אי שוויון קושי שוורץ: .
  • כמו כן מאי שוויון קושי שוורץ נובע שהנורמה היא רציפה למחצה מלמטה: אם מתכנסת חלש ל־x אז ומקושי שוורץ נקבל ש־.
  • מצד שני אם סדרת נקודות מתכנסת חלש ל x וכן אז מתכנסת ל x: .
  • ממשפט בנך שטיינהוס, נובע שכל סדרה מתכנסת חלש היא חסומה. מצד שני לכל סדרה חסומה יש תת-סדרה מתכנסת חלש.

משפט בנך-סאקס[עריכת קוד מקור | עריכה]

משפט בנך–סאקס מספק קשר נוסף בין התכנסות להתכנסות חלשה:

תהי סדרה המתכנסת חלש ל־x אזי יש ל־x תת-סדרה המתכנסת בממוצע ל־x: .

הוכחה: בה"כ x=0. כמו כן מתכנסת חלש ולכן חסומה על ידי M. נגדיר את הסדרה באופן הבא הבא: וכן בהינתן לכל j<k מתקיים מההתכנסות החלשה ש־ לכל j<k ולכן יש m כך ש־ לכל j<k. נבחר את להיות ה־m הראשון המקיים זאת. מתקיים: ונקבל את הדרוש.

הערה: למעשה המשפט נכון לכל מרחב בנך קמור במידה שווה (למשל מרחב כאשר )[1].

דוגמאות[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • תהי מערכת אורתונורמלית. כיוון ש־, ברור ש־ איננה שואפת לאפס. עם זאת, נראה שהיא שואפת חלש לאפס. אכן יהי . מאי שוויון בסל נקבל ובפרט הטור מתכנס ולכן אבריו שואפים לאפס. לכן ולכן שואפת חלש לאפס.

לקריאה נוספת[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • וויס בנימין, ליינדרשטראוס יורם, פזי אמנון, אנליזה פונקציונלית, האוניברסיטה העברית 1980.

הערות שוליים[עריכת קוד מקור | עריכה]

  1. ^ שיזו קאקוטאני, Weak Convergence in Uniformly Convex Spaces