ויקיפדיה:מיזמי ויקיפדיה/אתר האנציקלופדיה היהודית/ערכים ששוכתבו או הורחבו באנציקלופדיה היהודית/משולש פסקל

משולש פסקל הוא סידור של מספרים בצורת משולש, הנבנה באופן הבא: הקודקוד העליון של משולש זה מכיל את המספר 1, וכל מספר במשולש מהווה את סכום שני המספרים שנמצאים מעליו (המספרים שנמצאים על שוקי המשולש הם כולם 1). למשולש פסקל יש חשיבות רבה בקומבינטוריקה מכיוון שהמספר ה-m בשורה ה-n הוא מספר הדרכים השונות שבהן אפשר לבחור m עצמים מתוך n עצמים, ללא חזרות וללא חשיבות לסדר.

היסטוריה[עריכת קוד מקור]

משולש פסקל היה ידוע כבר בימי הביניים למלומדים סיניים, הודיים ומוסלמים. בלז פסקל עסק במשולש זה, שאותו כינה "המשולש האריתמטי", בספרו Traité du triangle arithmétique, שיצא לאור בשנת 1655, ועסק בשימושים של משולש פסקל בתורת ההסתברות. השם משולש פסקל, שהתקבל בעקבות תיאורו בספרו של פסקל, ניתן לו רק בתחילת המאה ה-18.

תכונות מתמטיות[עריכת קוד מקור]

מקדמי בינום[עריכת קוד מקור]

כמה דרכים יש לבחור ועד בן m חברים בכתה שיש בה n תלמידים? במלים אחרות, כמה תת-קבוצות בגודל m יש לקבוצה בגודל n? שאלה זאת ממלאת תפקיד מרכזי בקומבינטוריקה, ולכן התשובה לה זכתה לסימון מיוחד: ${n \choose m}$ , הנקרא מקדם בינומי. זהו הערך במקום ה-m בשורה ה-n של משולש פסקל (בשורה ה-n יש n+1 ערכים, הממוספרים 0 עד n).

כדי להיווכח בכך נקבע איבר מיוחס בקבוצה הנתונה בגודל n. יש $\ {n-1 \choose m}$ תת-קבוצות בגודל m שאינן כוללות את האיבר הזה, ועוד $\ {n-1 \choose m-1}$ תת-קבוצות באותו גודל הכוללות את האיבר (ועוד m-1 איברים אחרים). מכאן ש- ${n \choose m}={n-1 \choose m-1}+{n-1 \choose m}$ . משולש פסקל מקודד את העובדה הזו באופן גרפי, משום שהמספרים שמעל המקום ה-m בשורה ה-n במשולש הם המקומות ה-m וה-(m-1) בשורה ה-(n-1).

בזכות נוסחת הנסיגה הזו, המספרים במשולש פסקל מופיעים בנוסחת הבינום של ניוטון: $\ (x+y)^{n}=(x+y)\cdot (x+y)^{n-1}$ , ולכן המקדם של $\ x^{k}y^{n-k}$ בביטוי משמאל שווה לסכום המקדמים של $\ x^{k-1}y^{n-k}$ ושל $\ x^{k}y^{n-k-1}$ בחזקה $\ (x+y)^{n-1}$ . כך למשל, $\left(x+y\right)^{4}=1x^{4}+4x^{3}y+6x^{2}y^{2}+4xy^{3}+1y^{4}$ .

תכונות של שורות[עריכת קוד מקור]

כל שורה במשולש פסקל היא סימטרית סביב האמצע שלה: ${n \choose m}={n \choose n-m}$ . ניתן להיווכח בכך באופן פשוט: מספר הדרכים לבחור m עצמים, שווה למספר הדרכים לא לבחור את n-m העצמים שנותרו.
הסכום של המספרים בשורה ה-n במשולש שווה ל- $\,2^{n}$ (בנוסחא: $\sum _{m=0}^{n}{n \choose m}=2^{n}$ ). ניתן להיווכח בכך באינדוקציה: כל מספר בשורה מסוימת, תורם פעמיים לסכום המספרים בשורה שמתחתיו; מכאן משתמע שסכום המספרים בכל שורה הוא בדיוק פעמיים סכום המספרים בשורה שמעליה.
סכום הערכים במקומות הזוגיים בשורה נתונה, שווה לסכום הערכים במקומות האי-זוגיים באותה שורה (מלבד בשורה העליונה). הסיבה היא שלכל $\ n>0$ מתקיים $\ \sum _{m=0}^{n}(-1)^{m}{n \choose m}=(1-1)^{n}=0$ .
כל שורה במשולש פסקל הנה סדרה אונימודלית.

סדרות של מספרים[עריכת קוד מקור]

הקו שמתאר את הצלע החיצונית ביותר במשולש פסקל מכיל את המספרים 1,1,1,1,1...
הקו הבא המקביל לו מכיל את המספרים הטבעיים: 1,2,3,4....
הקו הבא המקביל לו מכיל את המספרים המשולשים: 1,3,6,10,.... מספרים אלו מתקבלים כאשר בונים משולש שווה-צלעות מקבוצת עצמים.
הקו הבא המקביל לו מכיל את המספרים הטטרהדרליים: 1,4,10,20,35... מספרי הכדורים הנחוצים לבניית פירמידה משולשת.
הקו הבא המקביל לו מכיל את מספרי סימפלקס 4.

משולש שרפינסקי[עריכת קוד מקור]

אם צובעים את המספרים האי-זוגיים במשולש בשחור, ואת המספרים הזוגיים בלבן, מתקבל פרקטל הקרוי משולש שרפינסקי.

בפולקלור היהודי[עריכת קוד מקור]

בפולקלור היהודי קיים סיפור על גירוש יהודי המוני בעיר מץ והסביבה, בפקודת ההגמון המקומי. רבי יהונתן אייבשיץ נפגש עם ההגמון, והם פתחו בשיחה. בתוך דבריהם הזכיר ר"י אייבשיץ כי "עם ישראל חי לעולמי עד". ההגמון שאל אותו למספר היהודים באזור מץ, ור"י אייבשיץ ציין את המספר 45,760. או אז פנה ההגמון לר"י אייבשיץ בהצעה כי מוכן לבטל את הגירוש, ובלבד שתוך שעה ישוב אליו עם קמע ובו ציטוט זה של "עם ישראל חי לעולמי עד" כפול כמניין יהודי מץ והסביבה. לאחר שעה שב ר"י אייבשיץ עם "קמע" ובו טבלה ריבועית המכילה את אותיות המשפט המבוקש לפי סדר המשפט, כשהאות ע' במרכז. ר"י אייבשיץ ציין להגמון כי באמצעות טבלה זו ניתן לקרוא את הביטוי 45,760 פעם. ההגמון נפעם מכך, והורה על ביטול הגירוש. האגדה מספרת כי רק לאחר שנה סיים ההגמון לחשב את כל אפשרויות קריאת הביטוי דרך אותה הטבלה.^[1]

הקמע
ד	ע	י	מ	ל	ו	ע	ל	ע	ו	ל	מ	י	ע	ד
ע	י	מ	ל	ו	ע	ל	י	ל	ע	ו	ל	מ	י	ע
י	מ	ל	ו	ע	ל	י	ח	י	ל	ע	ו	ל	מ	י
מ	ל	ו	ע	ל	י	ח	ל	ח	י	ל	ע	ו	ל	מ
ל	ו	ע	ל	י	ח	ל	א	ל	ח	י	ל	ע	ו	ל
ו	ע	ל	י	ח	ל	א	ר	א	ל	ח	י	ל	ע	ו
ע	ל	י	ח	ל	א	ר	ש	ר	א	ל	ח	י	ל	ע
ל	י	ח	ל	א	ר	ש	י	ש	ר	א	ל	ח	י	ל
י	ח	ל	א	ר	ש	י	ם	י	ש	ר	א	ל	ח	י
ח	ל	א	ר	ש	י	ם	ע	ם	י	ש	ר	א	ל	ח
י	ח	ל	א	ר	ש	י	ם	י	ש	ר	א	ל	ח	י
ל	י	ח	ל	א	ר	ש	י	ש	ר	א	ל	ח	י	ל
ע	ל	י	ח	ל	א	ר	ש	ר	א	ל	ח	י	ל	ע
ו	ע	ל	י	ח	ל	א	ר	א	ל	ח	י	ל	ע	ו
ל	ו	ע	ל	י	ח	ל	א	ל	ח	י	ל	ע	ו	ל
מ	ל	ו	ע	ל	י	ח	ל	ח	י	ל	ע	ו	ל	מ
י	מ	ל	ו	ע	ל	י	ח	י	ל	ע	ו	ל	מ	י
ע	י	מ	ל	ו	ע	ל	י	ל	ע	ו	ל	מ	י	ע
ד	ע	י	מ	ל	ו	ע	ל	ע	ו	ל	מ	י	ע	ד

טבלה זו מופיעה כטבלה בה 15 עמודות ו-19 שורות, כך שכל רבע ממנה מכיל טבלה של שמונה עמודות ועשר שורות עם אות ע' (הפותחת את הביטוי) בפינה אחת ואות ד' (המסיימת את הביטוי) בפינה שנגדה. במשולש פסקל האות ד' שבפינה היא המקום ה-8 בשורה ה-17 ולכן יש 11,440 אפשרויות להגיע אליה: ${\binom {16}{7}}={\frac {16!}{7!9!}}=11,440$ . ארבעת הרבעים יחד מכילים אפוא 45,760 אפשרויות.