חבורה אלגברית ליניארית

במתמטיקה, ובפרט בתורת החבורות האלגבריות, חבורה אלגברית ליניארית היא תת חבורה אלגברית סגורה של החבורה הליניארית הכללית$GL_{n}$. חלק גדול מתורת החבורות האלגבריות מוקדש לעיסוק בחבורות אלגבריות ליניאריות. בפרט רוב תורת ההצגות של חבורות אלגבריות מתמקדת בחבורות אלגבריות ליניאריות. דוגמאות רבות של ירעות אלגבריות מבוססות על חבורות אלגבריות ליניאריות. כמו כן בניות רבות של חבורות, חבורות טופולוגיות וחבורות לי מבוססות על חבורות אלגבריות ליניאריות.

הגדרות

הגדרה אלמנטרית

ניתן להגדיר חבורה אלגברית ליניארית באופן יחסית אלמנטרי (לא דורש את מושג היריעה האלגברית והחבורה האלגברית באופן כללי) כדלקמן: יהי $k$ שדה סגור אלגברית למשל שדה המספרים המרוכבים. תת-קבוצה $G$ של מרחב המטריצות $n\times n$ מעל $k$ נקראת חבורה אלגברית ליניארית אם מתקיים

• היא מכילה את מטריצת היחידה
• היא חבורה ביחס לכפל מטריצות
• קיימים פולינומים $p_{1},\dots ,p_{k}$ ב-$n^{2}$ משתנים, כך שאם אנו חושבים על המשתנים שלהם בתור מקדמי מטריצה $n\times n$ אז אוסף הפתרונות של מערכת המשוואות $p_{i}(a_{11},\dots ,a_{nn})=0$ שמהווים מטריצות הפיכות הוא $G$.

החיסרון של הגדרה זאת הוא שהיא דורשת שיכון ספציפי של החבורה במרחב המטריצות.

הגדרה אבסטרקטית

ניתן להגדיר את המושג חבורה אלגברית ליניארית באופן אבסטרקטי כמקרה פרטי של חבורה אלגברית. יהי $k$ שדה. אוסף המטריצות ההפיכות $n\times n$ מעל $k$ הוא תת-קבוצה של מרחב המטריצות $n\times n$ המהווה מרחב ליניארי מממד $n^{2}$. תת-קבוצה זאת היא קבוצה פתוחה בטופולוגיית זריצקי. מכאן שיש על קבוצה זאת מבנה טבעי של יריעה אלגברית. כפל מטריצות מגדיר מבנה של חבורה אלגברית על יריעה זאת. חבורה זאת נקראת החבורה הליניארית הכללית $GL_{n}$ מעל השדה $k$. חבורה אלגברית ליניארית היא חבורה אלגברית שאיזומורפית לתת חבורה סגורה של $GL_{n}$, ז"א תת יריעה סגורה של $GL_{n}$ שמהווה תת-חבורה.

חבורות אלגבריות אפיניות

חבורה אלגברית אפינית היא חבורה אלגברית שבתור יריעה אלגברית מהווה יריעה אלגברית אפינית. קל לראות שכל חבורה אלגברית ליניארית היא אפינית. למעשה ההפך גם נכון: משפט: אם $G$ חבורה אלגברית אז היא לינארית אמ"ם היא אפינית.

לטענה זאת יש הכללות עבור סכמות חבורה אולם המצב שם מסובך יותר.

תכונות

חבורות אלגבריות לינאריות סגורות לגבי תת-מנות והרחבות. זאת אומרת:

1. אם $G$ חבורה אלגברית ליניארית ו-$H$ תת-חבורה (סגורה זריצקי) שלה אז גם $H$ חבורה אלגברית ליניארית.
2. אם $G$ חבורה אלגברית ליניארית ו-$N$ תת-חבורה נורמלית (סגורה זריצקי) שלה אז גם $G/N$ חבורה אלגברית ליניארית.
3. אם $G$ חבורה אלגברית ו-$N$ תת-חבורה נורמלית (סגורה זריצקי) שלה כך ש- $N$ ו- $G/N$ חבורות אלגבריות לינאריות, אז גם $G$ חבורה אלגברית ליניארית.

סוגים של חבורות אלגבריות ליניאריות

פסקה זו נמצאת בשלבי עבודה: כדי למנוע התנגשויות עריכה ועבודה כפולה, אתם מתבקשים שלא לערוך פסקה זו בטרם תוסר ההודעה הזו. אם הפסקה לא נערכה במשך שבוע ניתן להסיר את התבנית ולערוך את הפסקה, אך לפני כן רצוי להזכיר את התבנית למשתמש שהניח אותה, באמצעות הודעה בדף שיחת המשתמש.

חבורות יוניפוטנטיות

משפחה חשובה של חבורות אלגבריות ליניאריות היא חבורות יוניפוטנטיות. דוגמה לחבורה יוניפוטנטית היא החבורה $U_{n}$ של מטריצות משולשיות עליונות $n\times n$ שכל איברי האלכסון שלהן שווים ל-1. חבורה נקראת יוניפוטנטית אם היא איזומורפית לתת חבורה אלגברית סגורה של $U_{n}$.

חבורות יוניפוטנטיות סגורות לגבי תת-מנות והרחבות. אם המציין של שדה ההגדרה הוא -0, אז כל חבורה יניפוטנטית היא קשירה. החבורה $U_{1}$ איזומורפית לחבורה החיבורית של שדה ההגדרה. אפשר לראות בדוגמה זאת את הדוגמה הפשוטה ביותר לחבורה יוניפוטנטית. במובן מסוים כל החבורות היוניפוטנטיות מורכבות ממנה. לכל חבורה יוניפוטנטית יש מרכז לא טריביאלי. אם המציין של שדה ההגדרה הוא -0, אז מרכז זה מכיל תת חבורה איזומרפית ל-$U_{1}$.

קישורים חיצוניים

• מידע מורחב