חבורה טופולוגית

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

בתורת החבורות, חבורה טופולוגית היא חבורה המהווה גם מרחב טופולוגי, ובה פעולות הכפל וההיפוך הן פונקציות רציפות. בזכות הופעתן של חבורות אלה בתחומים רבים כל-כך במתמטיקה, חבורות טופולוגיות הן הסוג החשוב ביותר של חבורות אינסופיות.

כל חבורה אפשר להפוך לחבורה טופולוגית על ידי בחירת הטופולוגיה הדיסקרטית; במובן זה, החבורות הדיסקרטיות הן החבורות הטופולוגיות הטריוויאליות.

תת-חבורות[עריכת קוד מקור | עריכה]

כל תת-חבורה H של חבורה טופולוגית G יורשת ממנה גם את המבנה האלגברי וגם את המבנה הטופולוגי, וכך היא מהווה חבורה טופולוגית בעצמה. גם מרחב המנה \ G/H הוא מרחב טופולוגי, וההטלה \ G\rightarrow G/H היא פתוחה. עם זאת, כדי שיהיו למרחב המנה תכונות מוצלחות, תת-החבורה חייבת לקיים תנאים טופולוגיים: \ G/H הוא מרחב האוסדורף אם ורק אם H סגורה, ו- \ G/H מרחב דיסקרטי אם ורק אם H פתוחה. מכאן נובעת עובדה חשובה: כל תת-חבורה פתוחה היא גם סגורה (ולכן לחבורה טופולוגית קשירה לא יכולות להיות תת-חבורות פתוחות כלל).

הסגור הטופולוגי של תת-חבורה מהווה תת-חבורה סגורה; והסגור הטופולוגי של תת-חבורה נורמלית הוא תת-חבורה נורמלית סגורה. לדוגמה, הסגור של תת-החבורה הטריוויאלית מהווה תת-חבורה נורמלית סגורה.

אם H תת-חבורה נורמלית, אז חבורת המנה היא בעצמה חבורה טופולוגית.

למרכיב הקשירות של היחידה יש תפקיד מיוחד: זוהי תת-חבורה נורמלית \ G^{\circ}, ומרחב המנה \ G/G^{\circ} הוא מרחב לא קשיר לחלוטין.

סוגים חשובים של חבורות טופולוגיות[עריכת קוד מקור | עריכה]

ישנן שלוש משפחות של חבורות טופולוגיות, זו למעלה מזו.

חבורות עם תכונת האוסדורף[עריכת קוד מקור | עריכה]

המשפחה החשובה הראשונה כוללת את החבורות הטופולוגיות המקיימות את תכונת האוסדורף. חבורה טופולוגית היא כזו אם ורק אם תת-החבורה \ \left\{1\right\} היא סגורה. כל חבורה טופולוגית היא רגולרית לחלוטין, וכל חבורה טופולוגית האוסדורף היא מרחב טיכונוף. בחבורת האוסדורף ההעתקה \ G\rightarrow G/H היא סגורה, והמכפלה של כל תת-קבוצה סגורה בקבוצה קומפקטית היא סגורה. למעשה, תכונת T0 מספיקה כדי להבטיח שהחבורה תקיים את תכונת האוסדורף, ואפילו שתהיה רגולרית לחלוטין.

ה"מאפיין" של חבורה טופולוגית הוא העוצמה הקטנה ביותר של בסיס מקומי לטופולוגיה בנקודת הראשית. משפט Birkhoff-Kakutani (1936) קובע שהטופולוגיה היא מטריזבילית אם ורק אם המאפיין בן מניה לכל היותר.

ב-1941 בנה אנדריי מרקוב חבורות אבליות חופשיות; בטרמינולוגיה מודרנית, הוא הראה שלכל מרחב טופולוגי X יש איבר חופשי בקטגוריה של החבורות הטופולוגיות האבליות הנוצרות על ידי אברי X.

חבורות קומפקטיות מקומית[עריכת קוד מקור | עריכה]

במחלקה הבאה נמצאות חבורות האוסדורף קומפקטיות מקומית (המונח "חבורה קומפקטית מקומית" כולל, כעניין של הגדרה, גם את תכונת האוסדורף). כל תת-חבורה קומפקטית מקומית של חבורה קומפקטית מקומית היא סגורה. התכונה החשובה ביותר של חבורות כאלה הוא קיום של מידת האר יחידה: זוהי מידת בורל ממשית רגולרית (מבפנים על קבוצות פתוחות, ומבחוץ על קבוצות בורל) \ \mu, שהיא סופית על קבוצות קומפקטיות, ואינווריאנטית משמאל - \ \mu(xA)=\mu(A). היחידות היא עד-כדי כפל בקבוע חיובי. באותו אופן קיימת גם מידת האר יחידה שהיא אינווריאנטית מימין.

הדוגמה הטיפוסית לחבורה קומפקטית מקומית היא חבורת לי, למשל חבורת המטריצות \ GL_n(\mathbb{R}). בכל חבורה קומפקטית מקומית G, מרכיב הקשירות של איבר היחידה \ G^0 הוא גבול הפוך של חבורות לי, והמנה \ G/G^0 בלתי קשירה לחלוטין.

חבורת הקרקטרים של חבורה טופולוגית אבלית A היא החבורה של כל ההומומורפיזמים מ-A אל מעגל היחידה \ S^1(עם פעולת הכפל של מספרים מרוכבים); את החבורה הזו, שגם היא חבורה טופולוגית ביחס לטופולוגיה המתאימה, מסמנים ב-\ \widehat{A}. לדוגמה, חבורת הקרקטרים של \ \mathbb{Z} היא \ S^1, ולהיפך. חבורת הקרקטרים של המספרים הממשיים (ביחס לחיבור, עם הטופולוגיה הרגילה) איזומורפית לחבורה עצמה. לפי "דואליות פונטריאגין", \ \widehat{\widehat{A}} \cong A לכל חבורה קומפקטית; van Kampen הכליל את המשפט לחבורות קומפקטיות מקומית.

חבורות פרו-סופיות[עריכת קוד מקור | עריכה]

המשפחה השלישית היא של חבורות פרו-סופיות, שהן חבורות המהוות גבול הפוך של חבורות סופיות. הדוגמה הפשוטה ביותר לחבורה אינסופית כזו היא חבורת השלמים ה-p-אדיים, \ \mathbb{Z}_p, שאפשר להציג כגבול של החבורות הציקליות \ \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \leftarrow
 \mathbb{Z}/p^2 \mathbb{Z} \leftarrow \mathbb{Z}/p^3 \mathbb{Z} \leftarrow \dots \leftarrow \mathbb{Z}_p. חבורות אלה מצוידות בטופולוגיה הפרו-סופית, שתחתיה הן מהוות חבורת האוסדורף קומפקטית.

למעשה, כל חבורה קומפקטית שהיא לא-קשירה לחלוטין, מהווה חבורה פרו-סופית. כאשר G פרו-סופית, תת-חבורה H היא פתוחה אם ורק אם היא בעלת אינדקס סופי. תת-חבורה H היא סגורה, אם ורק אם היא מהווה חיתוך של חבורות פתוחות; תכונה שקולה אחרת היא שהטופולוגיה המושרית מ- G ל- H תהיה בעצמה פרו-סופית. במקרה כזה, חבורת המנה \ G/H היא פרו-סופית בעצמה.

חוגים ושדות טופולוגיים[עריכת קוד מקור | עריכה]

באופן דומה להגדרת המושג חבורה טופולוגית ניתן להגדיר חוג טופולוגי באופן הבא: נניח כי R הוא חוג שהוא גם מרחב טופולוגי. נאמר שR הוא חוג טופולוגי אם פעולות החיבור והכפל בחוג הן פונקציות רציפות. אם R הוא שדה, נאמר שR הוא שדה טופולוגי אם גם פעולת ההופכי לכפל (המוגדרת על תת-המרחב \,R-\{0\}) היא פונקציה רציפה.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]