חבורה טופולוגית

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

בתורת החבורות, חבורה טופולוגית היא חבורה המהווה גם מרחב טופולוגי, ובה פעולות הכפל וההיפוך הן פונקציות רציפות. בזכות הופעתן של חבורות אלה בתחומים רבים כל-כך במתמטיקה, חבורות טופולוגיות הן הסוג החשוב ביותר של חבורות אינסופיות.

כל חבורה אפשר להפוך לחבורה טופולוגית על ידי בחירת הטופולוגיה הדיסקרטית; במובן זה, החבורות הדיסקרטיות הן החבורות הטופולוגיות הטריוויאליות.

תת-חבורות[עריכת קוד מקור | עריכה]

כל תת-חבורה H של חבורה טופולוגית G יורשת ממנה גם את המבנה האלגברי וגם את המבנה הטופולוגי, וכך היא מהווה חבורה טופולוגית בעצמה. גם מרחב המנה \ G/H הוא מרחב טופולוגי, וההטלה \ G\rightarrow G/H היא פתוחה. עם זאת, כדי שיהיו למרחב המנה תכונות מוצלחות, תת-החבורה חייבת לקיים תנאים טופולוגיים: \ G/H הוא מרחב האוסדורף אם ורק אם H סגורה, ו- \ G/H מרחב דיסקרטי אם ורק אם H פתוחה. מכאן נובעת עובדה חשובה: כל תת-חבורה פתוחה היא גם סגורה (ולכן לחבורה טופולוגית קשירה לא יכולות להיות תת-חבורות פתוחות כלל).

הסגור הטופולוגי של תת-חבורה מהווה תת-חבורה סגורה; והסגור הטופולוגי של תת-חבורה נורמלית הוא תת-חבורה נורמלית סגורה. לדוגמה, הסגור של תת-החבורה הטריוויאלית מהווה תת-חבורה נורמלית סגורה.

אם H תת-חבורה נורמלית, אז חבורת המנה היא בעצמה חבורה טופולוגית.

למרכיב הקשירות של היחידה יש תפקיד מיוחד: זוהי תת-חבורה נורמלית \ G^{\circ}, ומרחב המנה \ G/G^{\circ} הוא מרחב לא קשיר לחלוטין.

סוגים חשובים של חבורות טופולוגיות[עריכת קוד מקור | עריכה]

ישנן שלוש משפחות של חבורות טופולוגיות, זו למעלה מזו.

חבורות עם תכונת האוסדורף[עריכת קוד מקור | עריכה]

המשפחה החשובה הראשונה כוללת את החבורות הטופולוגיות המקיימות את תכונת האוסדורף. חבורה טופולוגית היא כזו אם ורק אם תת-החבורה \ \left\{1\right\} היא סגורה. כל חבורה טופולוגית היא רגולרית לחלוטין, וכל חבורה טופולוגית האוסדורף היא מרחב טיכונוף. בחבורת האוסדורף ההעתקה \ G\rightarrow G/H היא סגורה, והמכפלה של כל תת-קבוצה סגורה בקבוצה קומפקטית היא סגורה. למעשה, תכונת T0 מספיקה כדי להבטיח שהחבורה תקיים את תכונת האוסדורף, ואפילו שתהיה רגולרית לחלוטין. תת-חבורה היא פתוחה אם ורק אם הוא סגורה ובעלת אינדקס סופי.

ה"מאפיין" של חבורה טופולוגית הוא העוצמה הקטנה ביותר של בסיס מקומי לטופולוגיה בנקודת הראשית. משפט Birkhoff-Kakutani (1936) קובע שהטופולוגיה היא מטריזבילית אם ורק אם המאפיין בן מניה לכל היותר.

ב-1941 בנה אנדריי מרקוב חבורות אבליות חופשיות; בטרמינולוגיה מודרנית, הוא הראה שלכל מרחב טופולוגי X יש איבר חופשי בקטגוריה של החבורות הטופולוגיות האבליות הנוצרות על ידי אברי X.

חבורות קומפקטיות מקומית[עריכת קוד מקור | עריכה]

במחלקה הבאה נמצאות חבורות האוסדורף קומפקטיות מקומית (המונח "חבורה קומפקטית מקומית" כולל, כעניין של הגדרה, גם את תכונת האוסדורף). כל תת-חבורה קומפקטית מקומית של חבורה קומפקטית מקומית היא סגורה. התכונה החשובה ביותר של חבורות כאלה הוא קיום של מידת האר יחידה: זוהי מידת בורל ממשית רגולרית (מבפנים על קבוצות פתוחות, ומבחוץ על קבוצות בורל) \ \mu, שהיא סופית על קבוצות קומפקטיות, ואינווריאנטית משמאל - \ \mu(xA)=\mu(A). היחידות היא עד-כדי כפל בקבוע חיובי. באותו אופן קיימת גם מידת האר יחידה שהיא אינווריאנטית מימין.

הדוגמה הטיפוסית לחבורה קומפקטית מקומית היא חבורת לי, למשל חבורת המטריצות \ GL_n(\mathbb{R}). בכל חבורה קומפקטית מקומית G, מרכיב הקשירות של איבר היחידה \ G^0 הוא גבול הפוך של חבורות לי, והמנה \ G/G^0 בלתי קשירה לחלוטין.

חבורת הקרקטרים של חבורה טופולוגית אבלית A היא החבורה של כל ההומומורפיזמים מ-A אל מעגל היחידה \ S^1(עם פעולת הכפל של מספרים מרוכבים); את החבורה הזו, שגם היא חבורה טופולוגית ביחס לטופולוגיה המתאימה, מסמנים ב-\ \widehat{A}. לדוגמה, חבורת הקרקטרים של \ \mathbb{Z} היא \ S^1, ולהיפך. חבורת הקרקטרים של המספרים הממשיים (ביחס לחיבור, עם הטופולוגיה הרגילה) איזומורפית לחבורה עצמה. לפי "דואליות פונטריאגין", \ \widehat{\widehat{A}} \cong A לכל חבורה קומפקטית; van Kampen הכליל את המשפט לחבורות קומפקטיות מקומית.

חבורות פרו-סופיות[עריכת קוד מקור | עריכה]

המשפחה השלישית היא של חבורות פרו-סופיות, שהן חבורות המהוות גבול הפוך של חבורות סופיות. הדוגמה הפשוטה ביותר לחבורה אינסופית כזו היא חבורת השלמים ה-p-אדיים, \ \mathbb{Z}_p, שאפשר להציג כגבול של החבורות הציקליות \ \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \leftarrow
 \mathbb{Z}/p^2 \mathbb{Z} \leftarrow \mathbb{Z}/p^3 \mathbb{Z} \leftarrow \dots \leftarrow \mathbb{Z}_p. חבורות אלה מצוידות בטופולוגיה הפרו-סופית, שתחתיה הן מהוות חבורת האוסדורף קומפקטית.

למעשה, כל חבורה קומפקטית שהיא לא-קשירה לחלוטין, מהווה חבורה פרו-סופית. כאשר G פרו-סופית, תת-חבורה H היא פתוחה אם ורק אם היא בעלת אינדקס סופי. תת-חבורה H היא סגורה (ונורמלית), אם ורק אם היא מהווה חיתוך של חבורות פתוחות (ונורמליות); תכונה שקולה לכך היא שהטופולוגיה המושרית מ- G ל- H תהיה בעצמה פרו-סופית. אם H סגורה ונורמלית, אז חבורת המנה \ G/H היא פרו-סופית בעצמה.

חוגים ושדות טופולוגיים[עריכת קוד מקור | עריכה]

באופן דומה להגדרת המושג חבורה טופולוגית ניתן להגדיר חוג טופולוגי באופן הבא: נניח כי R הוא חוג שהוא גם מרחב טופולוגי. נאמר שR הוא חוג טופולוגי אם פעולות החיבור והכפל בחוג הן פונקציות רציפות. אם R הוא שדה, נאמר שR הוא שדה טופולוגי אם גם פעולת ההופכי לכפל (המוגדרת על תת-המרחב \,R-\{0\}) היא פונקציה רציפה.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]