חבורת הארבעה של קליין

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

חבורת הארבעה של קליין, או פשוט חבורת קליין, היא חבורה אבלית בת ארבעה איברים הקרויה על שם פליקס קליין, ונהוג לסמנה באות V, קיצור לשם שקליין נתן לה: Vierergruppe. חבורת הארבעה של קליין איזומורפית ל-Z2 × Z2, המכפלה הישירה של שני עותקים של החבורה הציקלית מסדר 2, והיא החבורה הקטנה ביותר שאינה ציקלית.

חבורת הארבעה של קליין מורכבת מקבוצה \ \{e, a, b, c\} ופעולה * המוגדרת על ידי לוח הכפל:

c b a e *
c b a e‏ e
b c e a‏ a
a e c b‏ b
e a b c c

כל איבר בחבורה הופכי לעצמו (ולכן הסדר של כל איבר בחבורה, פרט לאיבר היחידה e, הוא 2). המכפלה של כל שניים מבין שלושת האיברים הלא טריוויאלים (a, b, c) היא האיבר השלישי. בגלל הסימטריה הזו בין שלושת האיברים, כל תמורה על שלושת האברים האלו מהווה אוטומורפיזם של חבורת הארבעה של קליין, ולכן חבורת האוטומורפיזמים של חבורת הארבעה איזומורפית לחבורה הסימטרית S3.

חבורת הארבעה והחבורה הציקלית Z4 הן החבורות היחידות מסדר 4 (עד כדי איזומורפיזם). החבורה איזומורפית לחבורה הדיהדרלית D2 ולחבורת הסימטריות של מעוין ושל מלבן (שאינם ריבוע) - ארבעת האיברים הם העתקת הזהות, שיקוף בציר אנכי, שיקוף בציר אופקי וסיבוב בזווית שטוחה. היא גם חבורת הסימטריות של כל תיבה לא ריבועית. תת החבורה הנורמלית \ \{1, (12)(34), (13)(24), (14)(23)\} של החבורה הסימטרית \ S_4, איזומורפית לחבורת הארבעה.

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]