המשפט היסודי של תורת גלואה

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

במתמטיקה, המשפט היסודי של תורת גלואה הוא המשפט הבסיסי ביותר בדבר הרחבת שדות מממד סופי. למשפט שני חלקים - הראשון קובע מתי הרחבה היא הרחבת גלואה, והשני קושר בין שני אובייקטים אלגבריים שונים: חבורות ושדות. במשפט זה בא לידי ביטוי הרעיון הבסיסי של תורת גלואה.

בהינתן שדה \ F ושדה \ E שמכיל אותו, אומרים כי \ E/F היא הרחבת שדות, וניתן להתאים לה חבורה שאבריה הם האוטומורפיזמים של השדה \ E שמשמרים את \ F. חבורה זו מכונה חבורת הגלואה של ההרחבה.

החלק הראשון של המשפט קובע מתי ההרחבה היא הרחבת גלואה, והחלק השני מאפשר להפיק מהמבנה של חבורת הגלואה מידע על המבנה של ההרחבה עצמה.

ניסוח פורמלי[עריכת קוד מקור | עריכה]

תהא \ E/F הרחבת שדות מממד סופי. נסמן בתור \ G(E/F) = \mathrm{Gal}(E/F) את חבורת הגלואה של \ E/F.

המשפט הראשון[עריכת קוד מקור | עריכה]

התנאים הבאים שקולים:

התנאי השני למעשה חזק יותר, זאת לפי משפט של אמיל ארטין - אם E^G=F אז בהכרח G=G(E/F).

התנאי השני קובע כי לכל איבר שאיננו בשדה הבסיס, קיים אוטורומופיזם שלא משאיר אותו במקום - זוהי אחת הדרכים (האחרות) לחשוב על הרחבת גלואה, ובהקשרים מסוימים היא אף מוגדרת כך.

המשפט השני[עריכת קוד מקור | עריכה]

קיימת התאמה חד-חד ערכית ועל בין שדות הביניים של ההרחבה E/F ותת החבורות של החבורה \ Gal(E/F), הנקראת התאמת גלואה ומוגדרת כך:

  • (בכיוון הראשון) לכל שדה ביניים \ F\subseteq K\subseteq E מותאמת תת-החבורה \ G(E/K) - אוסף האוטומורפיזמים של \ E שמשמרים את \ K.
  • (בכיוון השני) לכל תת-חבורה \ H\subseteq G(E/F) מותאם שדה השבת של כל אברי \ H אותו נסמן E^H = \{ x \in E \mid \forall \sigma \in H : \sigma(x)=x \} (ומתקיים F \subseteq E^H \subseteq E).

שתי ההתאמות לעיל הפכיות אחת לשנייה.

התאמת גלואה מקיימת את התכונות הבאות:

  • ההתאמה היא הופכת סדר, כלומר אם \ F\subseteq K_1\subseteq K_2\subseteq E אז \ G(E/K_2)\subseteq G(E/K_1).
  • ההתאמה הופכת חיתוך ויצירה: אם K_i הוא שדה הביניים המתאים לתת-החבורה H_i אזי G(E/K_1 \cap K_2) = \langle H_1 , H_2 \rangle (כאן \langle H_1 , H_2 \rangle היא תת-החבורה הנוצרת על ידי H_1 ו-H_2) וכן G(E/K_1K_2) = H_1 \cap H_2.
  • דרגת ההרחבה זהה לסדר החבורה: \ \left[E:K\right]=|G(E/K)| לכל \ F\subseteq K\subseteq E.
  • עבור שדה ביניים \ K, \ K/F היא הרחבה נורמלית (ולכן גלואה) אם ורק אם \ G(E/K) היא תת חבורה נורמלית של \ G(E/F) . במקרה זה מתקיים \ G(E/F)/G(E/K)\cong G(K/F), כלומר חבורת הגלואה של \ K/F איזומורפית לחבורת המנה של \ G(E/F) על ידי \ G(E/K).

דוגמה[עריכת קוד מקור | עריכה]

נתבונן בפולינום \ f(x)=x^3-2 מעל \ \mathbb{Q}. אם נסמן \ \sqrt[3]{2}=\theta ו-\ \omega=e^{i\frac{2\pi}{3}} (שורש יחידה מסדר 3) אז שורשי הפולינום הם \ \theta, \theta\omega, \theta\omega^2. לכן ניתן לראות כי שדה הפיצול של הפולינום הוא \ \mathbb{Q}(\theta,\omega).

נסמן \ F=\mathbb{Q} ו-\ E=\mathbb{Q}(\theta,\omega).

ידוע כי כל אוטומורפיזם של \ E שמשמר את \ F מבצע תמורה של שורשי \ f(x), ומכיוון שישנם שלושה שורשים, חבורת הגלואה \ G(E/F) היא תת-חבורה של החבורה הסימטרית \ S_3.

ניתן להוכיח כי \ [E:F]=6 ולכן על פי המשפט היסודי \ |G(E/F)|=6, ולכן בהכרח \ G(E/F)=S_3.

לחבורה הסימטרית \ S_3 שלוש תת-חבורות מסדר \ 2, ועל פי המשפט היסודי הן מתאימות להרחבות \ E/F(\theta),E/F(\theta\omega),E/F(\theta\omega^2). תת-חבורות אלו אינן נורמליות ולכן ההרחבות \ F(\theta)/F, F(\theta\omega)/F, F(\theta\omega^2)/F אינן גלואה.

כמו כן לחבורה הסימטרית \ S_3 תת-חבורה אחת מסדר \ 3 - חבורת התמורות הזוגיות. לתת חבורה זו מתאימה ההרחבה \ E/F(\omega) ומכיוון שזוהי תת-חבורה נורמלית, ההרחבה \ F(\omega)/F היא הרחבת גלואה עם חבורת גלואה מסדר 2 (קיימת רק חבורה אחת שכזו).