המשפט היסודי של תורת גלואה

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

במתמטיקה, המשפט היסודי של תורת גלואה קושר בין שני אובייקטים אלגבריים שונים: החבורה והשדה. במשפט זה בא לידי ביטוי הרעיון הבסיסי של תורת גלואה.

בהינתן שדה \ F ושדה \ E שמכיל אותו, אומרים כי \ E/F היא הרחבת שדות, וניתן להתאים לה חבורה שאבריה הם האוטומורפיזמים של השדה \ E שמשמרים את \ F. חבורה זו מכונה חבורת הגלואה של ההרחבה.

אם מתקיימות תכונות מסוימות של ההרחבה היא מכונה הרחבת גלואה ואז ניתן להפיק מהמבנה של חבורת הגלואה מידע על המבנה של ההרחבה עצמה.

ניסוח פורמלי[עריכת קוד מקור | עריכה]

תהא \ E/F הרחבת גלואה סופית. בצורה שקולה, \ E היא שדה הפיצול של פולינום ספרבילי עם מקדמים ב-\ F. נסמן בתור \ G(E/F) = \mathrm{Gal}(E/F) את חבורת הגלואה של \ E/F. אז מתקיים:

  • קיימת התאמה חד-חד ערכית ועל בין שדות הביניים של ההרחבה \ E/F ותת החבורות של החבורה \ G(E/F), כך שלכל שדה ביניים \ F\subseteq K\subseteq E מותאמת תת-החבורה \ G(E/K) - אוסף האוטומורפיזמים של \ E שמשמרים את \ K.
  • לכל תת-חבורה \ H\subseteq G(E/F) מותאם שדה השבת של כל אברי \ H.
  • ההתאמה היא הופכת סדר, כלומר אם \ F\subseteq K_1\subseteq K_2\subseteq E אז \ G(E/K_2)\subseteq G(E/K_1).
  • ההתאמה הופכת חיתוך ויצירה: אם K_i הוא שדה הביניים המתאים לתת-החבורה H_i אזי G(E/K_1 \cap K_2) = \langle H_1 , H_2 \rangle (כאן \langle H_1 , H_2 \rangle היא תת-החבורה הנוצרת על ידי H_1 ו-H_2) וכן G(E/K_1K_2) = H_1 \cap H_2.
  • דרגת ההרחבה זהה לסדר החבורה: \ \left[E:K\right]=|G(E/K)| לכל \ F\subseteq K\subseteq E.
  • עבור שדה ביניים \ K, \ K/F היא הרחבה נורמלית (ולכן גלואה) אם ורק אם \ G(E/K) היא תת חבורה נורמלית של \ G(E/F) . במקרה זה מתקיים \ G(E/F)/G(E/K)\cong G(K/F), כלומר חבורת הגלואה של \ K/F איזומורפית לחבורת המנה של \ G(E/F) על ידי \ G(E/K).

דוגמה[עריכת קוד מקור | עריכה]

נתבונן בפולינום \ f(x)=x^3-2 מעל \ \mathbb{Q}. אם נסמן \ \sqrt[3]{2}=\theta ו-\ \omega=e^{i\frac{2\pi}{3}} (שורש יחידה מסדר 3) אז שורשי הפולינום הם \ \theta, \theta\omega, \theta\omega^2. לכן ניתן לראות כי שדה הפיצול של הפולינום הוא \ \mathbb{Q}(\theta,\omega).

נסמן \ F=\mathbb{Q} ו-\ E=\mathbb{Q}(\theta,\omega).

ידוע כי כל אוטומורפיזם של \ E שמשמר את \ F מבצע תמורה של שורשי \ f(x), ומכיוון שישנם שלושה שורשים, חבורת הגלואה \ G(E/F) היא תת-חבורה של החבורה הסימטרית \ S_3.

ניתן להוכיח כי \ [E:F]=6 ולכן על פי המשפט היסודי \ |G(E/F)|=6, ולכן בהכרח \ G(E/F)=S_3.

לחבורה הסימטרית \ S_3 שלוש תת-חבורות מסדר \ 2, ועל פי המשפט היסודי הן מתאימות להרחבות \ E/F(\theta),E/F(\theta\omega),E/F(\theta\omega^2). תת-חבורות אלו אינן נורמליות ולכן ההרחבות \ F(\theta)/F, F(\theta\omega)/F, F(\theta\omega^2)/F אינן גלואה.

כמו כן לחבורה הסימטרית \ S_3 תת-חבורה אחת מסדר \ 3 - חבורת התמורות הזוגיות. לתת חבורה זו מתאימה ההרחבה \ E/F(\omega) ומכיוון שזוהי תת-חבורה נורמלית, ההרחבה \ F(\omega)/F היא הרחבת גלואה עם חבורת גלואה מסדר 2 (קיימת רק חבורה אחת שכזו).