המשפט היסודי של תורת גלואה

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

במתמטיקה, המשפט היסודי של תורת גלואה הוא המשפט הבסיסי ביותר בדבר הרחבת שדות מממד סופי. למשפט שני חלקים - הראשון קובע מתי הרחבה היא הרחבת גלואה, והשני קושר בין שני אובייקטים אלגבריים שונים: חבורות ושדות. במשפט זה בא לידי ביטוי הרעיון הבסיסי של תורת גלואה.

בהינתן שדה \ F ושדה \ E שמכיל אותו, אומרים כי \ E/F היא הרחבת שדות, וניתן להתאים לה חבורה שאבריה הם האוטומורפיזמים של השדה \ E שמשמרים את \ F. חבורה זו מכונה חבורת הגלואה של ההרחבה.

החלק הראשון של המשפט קובע מתי ההרחבה היא הרחבת גלואה, והחלק השני מאפשר להפיק מהמבנה של חבורת הגלואה מידע על המבנה של ההרחבה עצמה.

ניסוח פורמלי[עריכת קוד מקור | עריכה]

תהא \ E/F הרחבת שדות מממד סופי. נסמן בתור \ G(E/F) = \mathrm{Gal}(E/F) את חבורת הגלואה של \ E/F.

המשפט הראשון[עריכת קוד מקור | עריכה]

התנאים הבאים שקולים:

התנאי השני למעשה חזק יותר, זאת לפי משפט של אמיל ארטין - אם E^G=F אז בהכרח G=G(E/F).

התנאי השני קובע כי לכל איבר שאיננו בשדה הבסיס, קיים אוטורומופיזם שלא משאיר אותו במקום - זוהי אחת הדרכים (האחרות) לחשוב על הרחבת גלואה, ובהקשרים מסוימים היא אף מוגדרת כך.

המשפט השני[עריכת קוד מקור | עריכה]

קיימת התאמה חד-חד ערכית ועל בין שדות הביניים של ההרחבה E/F ותתי-החבורות של החבורה \ Gal(E/F), הנקראת התאמת גלואה ומוגדרת כך:

  • (בכיוון הראשון) לכל שדה ביניים \ F\subseteq K\subseteq E מותאמת תת-החבורה \ G(E/K) - אוסף האוטומורפיזמים של \ E שמשמרים את \ K.
  • (בכיוון השני) לכל תת-חבורה \ H\subseteq G(E/F) מותאם שדה השבת של כל אברי \ H אותו נסמן E^H = \{ x \in E \mid \forall \sigma \in H : \sigma(x)=x \} (ומתקיים F \subseteq E^H \subseteq E).

שתי ההתאמות לעיל הפכיות אחת לשנייה.

התאמת גלואה מקיימת את התכונות הבאות:

  • ההתאמה היא הופכת סדר, כלומר אם \ F\subseteq K_1\subseteq K_2\subseteq E אז \ G(E/K_2)\subseteq G(E/K_1).
  • ההתאמה הופכת חיתוך ויצירה: אם K_i הוא שדה הביניים המתאים לתת-החבורה H_i אזי G(E/K_1 \cap K_2) = \langle H_1 , H_2 \rangle (כאן \langle H_1 , H_2 \rangle היא תת-החבורה הנוצרת על ידי H_1 ו-H_2) וכן G(E/K_1K_2) = H_1 \cap H_2.
  • דרגת ההרחבה זהה לסדר החבורה: \ \left[E:K\right]=|G(E/K)| לכל \ F\subseteq K\subseteq E.
  • עבור שדה ביניים \ K, \ K/F היא הרחבה נורמלית (ולכן גלואה) אם ורק אם \ G(E/K) היא תת-חבורה נורמלית של \ G(E/F) . במקרה זה מתקיים \ G(E/F)/G(E/K)\cong G(K/F), כלומר חבורת הגלואה של \ K/F איזומורפית לחבורת המנה של \ G(E/F) על ידי \ G(E/K).

דוגמה[עריכת קוד מקור | עריכה]

נתבונן בפולינום \ f(x)=x^3-2 מעל \ \mathbb{Q}. אם נסמן \ \sqrt[3]{2}=\theta ו-\ \omega=e^{i\frac{2\pi}{3}} (שורש יחידה מסדר 3) אז שורשי הפולינום הם \ \theta, \theta\omega, \theta\omega^2. לכן ניתן לראות כי שדה הפיצול של הפולינום הוא \ \mathbb{Q}(\theta,\omega).

נסמן \ F=\mathbb{Q} ו-\ E=\mathbb{Q}(\theta,\omega).

ידוע כי כל אוטומורפיזם של \ E שמשמר את \ F מבצע תמורה של שורשי \ f(x), ומכיוון שישנם שלושה שורשים, חבורת הגלואה \ G(E/F) היא תת-חבורה של החבורה הסימטרית \ S_3.

ניתן להוכיח כי \ [E:F]=6 ולכן על פי המשפט היסודי \ |G(E/F)|=6, ולכן בהכרח \ G(E/F)=S_3.

לחבורה הסימטרית \ S_3 שלוש תת-חבורות מסדר \ 2, ועל פי המשפט היסודי הן מתאימות להרחבות \ E/F(\theta),E/F(\theta\omega),E/F(\theta\omega^2). תת-חבורות אלו אינן נורמליות ולכן ההרחבות \ F(\theta)/F, F(\theta\omega)/F, F(\theta\omega^2)/F אינן גלואה.

כמו כן לחבורה הסימטרית \ S_3 תת-חבורה אחת מסדר \ 3 - חבורת התמורות הזוגיות. לתת-חבורה זו מתאימה ההרחבה \ E/F(\omega) ומכיוון שזוהי תת-חבורה נורמלית, ההרחבה \ F(\omega)/F היא הרחבת גלואה עם חבורת גלואה מסדר 2 (קיימת רק חבורה אחת שכזו).

משפט גלואה האינסופי[עריכת קוד מקור | עריכה]

התאמת גלואה איננה נשארת נכונה כאשר הרחבת השדות איננה מממד סופי - לא לכל תת-חבורה מתאימת הרחבת ביניים. בכל זאת, המבנה של הרחבה אינסופית ידוע ומכליל את המקרה הסופי.

ראשית, יש להבין מהי חבורת הגלואה במקרה האינסופי. נניח כי נתונה הרחבת שדות K/k, ונניח כי N/M/L/k הוא מגדל הרחבות סופיות המוכלות ב-K. בהתאם למשפט במקרה הסופי, ישנו אפימורפיזם \phi_{ML}:\operatorname{Gal}(M/k) \to \operatorname{Gal}(L/k), ומתקיים \phi_{NL} = \phi_{ML} \circ \phi_{NM}. לכן, המערכת (\operatorname{Gal}(L/k),\phi_{ML}) עבור כל הרחבות הגלואה היא מערכת פרויקטיבית, ולכן מוגדרת חבורת הגבול ההפוך שלה \varprojlim{\operatorname{Gal}(L/k)}. למעשה זוהי חבורה טופולוגית, מצוידת בטופולוגיה הפרו-סופית, כאשר על כל חבורה סופית נתונה הטופולוגיה הדיסקרטית. מתקיים:

משפט: \operatorname{Gal}(K/k) \cong \varprojlim{\operatorname{Gal}(L/k)}. בפרט, החבורה היא פרו-סופית.

כעת, ננסח את ההכללה של משפט גלואה.

משפט: בהינתן הרחבת גלואה K/k, ישנה התאמה מלאה (כמו במקרה הסופי) בין תתי-הרחבות לבין תתי-חבורות סגורות של {\operatorname{Gal}(K/k)}, ומתקיימות אותן הטענות כמו במשפט הרגיל.

המשפט מכליל את המקרה הסופי, שכן אז הטופולוגיה דיסקרטית וכל תת-חבורה ממילא סגורה. בניגוד למקרה הסופי, התאוריה במקרה האינסופי שונה ועשירה יותר: בכל הרחבה אינסופית קיימת תת-חבורה לא סגורה (למשל בת מנייה), ולכן לא מתאים לה שדה.

ניתן לתת ניסוחים נוספים למשפט גלואה האינסופי, באמצעות אלגברת Étale וניסוח אחר באמצעות כיסוי גלואה.

דוגמאות[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • חבורת הגלואה של הרחבת כל השורשים ה-\{p^n\}_{n \in \mathbb{N}} פרימטיביים היא \operatorname{Gal}(\mathbb{Q}(\mu_{p^\infty})/\mathbb{Q}) \cong \mathbb{Z}_p^{\times}, חבורת השלמים ה-p-אדיים, וחבורת הגלואה של הרחבת כל השורשים הפרימיטיביים היא \operatorname{Gal}(\mathbb{Q}(\mu)/\mathbb{Q}) \cong \hat{\mathbb{Z}}^{\times}.
  • תת-החבורה \mathbb{Z} \le \hat{\mathbb{Z}} היא בת מנייה ולכן לא סגורה, ולכן למשל בדוגמה הראשונה לא מתאים לה שדה ביניים.