מעוין

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש
מעוינים ואלכסוניהם

מעוין הוא מרובע שווה-צלעות. מעוין הוא מקרה פרטי של דלתון ושל מקבילית. ריבוע הוא מקרה פרטי של מעוין שבו הזוויות שוות.

בגאומטריה אנליטית ניתן להגדיר מעוין, שאלכסוניו p ו-q מונחים על הצירים, כמקום הגאומטרי של הנקודות (x, y) שמקיימות:

.

פאון שכל פאותיו הן מעוינים נקרא "מעוינון".

תכונות המעוין[עריכת קוד מקור | עריכה]

מעוין

האלכסונים[עריכת קוד מקור | עריכה]

את אורך האלכסונים p = AC ו- q = BD ניתן להציג לפי אורך הצלע ואחת הזוויות באמצעות הנוסחאות הבאות, שנובעות ממשפט הקוסינוסים:

שטח המעוין[עריכת קוד מקור | עריכה]

קיימות דרכים אחדות לחישוב שטח המעוין:

  • מחצית מכפלת האלכסונים זה בזה. נובע מכך שהאלכסונים מחלקים את המעוין לארבעה משולשים ישרי זווית.
  • אורך צלע כפול הגובה (בציור: ). בהתאם לנוסחה לחישוב שטח מקבילית.
  • אורך צלע בריבוע כפול סינוס של אחת הזוויות. בציור:
  • הגובה בריבוע חלקי סינוס של אחת הזוויות. בציור:
  • חצי ההיקף של המעוין כפול רדיוס המעגל החסום. בציור:

משפטים הפוכים[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • מקבילית שאלכסוניה מאונכים זה לזה היא מעוין.
  • מקבילית שבה אלכסון חוצה את הזווית היא מעוין.
  • מקבילית עם זוג צלעות סמוכות שוות היא מעוין.
  • מרובע שכל צלעותיו שוות הוא מעוין.

ריצוף המישור[עריכת קוד מקור | עריכה]

באמצעות מעוינים זהים ניתן ליצור ריצוף של המישור בשלוש דרכים:

ריצוף ששקול טופולוגית לריצןף ריבועי ריצוף במעוינים שזוויותיהם
60 ו-120 מעלות
Isohedral tiling p4-55.png Isohedral tiling p4-51c.png Rhombic star tiling.png

תכונות דואליות[עריכת קוד מקור | עריכה]

המצולע הדואלי של המעוין הוא המלבן:

  • במעוין כל הצלעות שוות ובמלבן כל הזוויות שוות.
  • במעוין זוויות נגדיות שוות ובמלבן צלעות נגדיות שוות.
  • למעוין יש מעגל חסום ולמלבן יש מעגל חוסם.
  • למעוין יש ציר סימטריה דרך כל זוג זוויות נגדיות, ולמלבן יש ציר סימטריה דרך כל זוג צלעות נגדיות.
  • האלכסונים של מעוין נפגשים בזוויות שוות, ואלכסונים של מלבן נחתכים באורכים שווים.
  • חיבור אמצעי הצלעות של מעוין יוצר מלבן, וחיבור אמצעי הצלעות של מלבן יוצר מעוין.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]