חבורת הסיבוב (3)SO

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

חבורת הסיבוב בשלושה ממדים, המכונה (SO(3 היא חבורת כל הסיבובים סביב ראשית צירים במרחב , תחת הרכבה. (SO(3 היא חבורת לי קומפקטית מממד 3. מנקודת מבט כללית יותר, (SO(3 היא החבורה האורתוגנלית המיוחדת של התבנית הריבועית .

החבורה (SO(3 משמשת לתיאור כל סימטריות הסיבוב של גוף, כמו גם כל האוריינטציות האפשריות שלו במרחב. היא נמצאת בשימוש נרחב בחישובים פיזיקליים ובמיוחד בפיזיקה גרעינית כאשר מתארים חלקיקים אלמנטריים עם ספין שלם, וכן בתחומי התעופה, הטילאות ובכלל בכל מקום שנדרשת הדמיה של גופים נעים ומסתובבים במרחב.

על פי הגדרה, סיבוב סביב ראשית הצירים הוא טרנספורמציה המשמרת את ראשית הצירים, את המרחק האוקלידי (ולכן היא איזומטריה), ואת האוריינטציה. כל סיבוב לא-טריוויאלי מוגדר על ידי ציר הסיבוב (קו העובר דרך ראשית הצירים) וזווית הסיבוב. פונקציית הזהות מקיימת את תנאי הסיבוב ולכן מהווה סיבוב בעצמה. לכל סיבוב ישנו ערך הופכי יחיד. לפי משפט הסיבובים של אוילר, הרכבה של שני סיבובים מוגדרת על ידי סיבוב שקול.

סיבובים הם טרנספורמציות ליניאריות במרחב וניתנות לייצוג על ידי מטריצה לאחר שנבחר בסיס של . בפרט, אם נקבע בסיס אורתונורמלי של , כל סיבוב יהיה מיוצג על ידי מטריצה אורתוגונלית 3X3.

החבורה (SO(3 יכולה איפה להיות מוגדרת על ידי חבורת המטריצות המתוארות לעיל תחת פעולת כפל מטריצות. מטריצות אלו מכונות "מטריצות אורתוגונליות מיוחדות" (Special Orthogonal Matrices), ולכן הסימון SO.