חבורת פרובניוס

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

בתורת החבורות, חבורת פרובניוס היא חבורה הפועלת טרנזיטיבית על קבוצה סופית, באופן שלכל איבר לא-טריוויאלי יש לכל היותר נקודת שבת אחת. החבורות נקראות על-שם מייסד תורת ההצגות, פרדיננד גאורג פרובניוס.

במחצית הראשונה של המאה ה-20 שימשו חבורות פרובניוס מעין מעבדה לבחינת שיטות שונות בתורת החבורות הסופיות. ב-1959 הוכיח ג'ון תומפסון שכל חבורה כזו היא פתירה. מעט אחר-כך מילאו חבורות פרובניוס תפקיד חשוב בהוכחת משפט פייט-תומפסון (הקובע שכל חבורה מסדר אי-זוגי היא פתירה), ובמיון של כמה משפחות חשובות אחרות של חבורות סופיות.

הגרעין והמשלימים[עריכת קוד מקור | עריכה]

נניח ש-G חבורת פרובניוס, כלומר, היא פועלת טרנזיטיבית על קבוצה סופית X, באופן שלכל איבר לא-טריוויאלי יש לכל היותר נקודת שבת אחת. במקרה כזה, הקבוצה Q, הכוללת, בנוסף לאיבר היחידה, את כל איברי G שאינם מייצבים אף נקודה, מהווה תת-חבורה נורמלית של G, הנקראת הגרעין (או גרעין פרובניוס) של החבורה. כל אחד מן המייצבים \ G_x=\{g\in G: g(x)=x\} של נקודות \ x\in X נקרא משלים של Q.

התכונות הבאות שקולות לכך שחבורה סופית G תהיה חבורת פרובניוס:

  • יש ל-G תת-חבורה נורמלית Q בעלת התכונה הבאה: פרט לאיבר היחידה, איברי Q אינם מתחלפים עם איברים מחוץ ל-Q.
  • יש ל-G תת-חבורה H, כך ש- \ H \cap xHx^{-1}=1 לכל איבר \ x\not \in H.

הגרעין הוא תת-החבורה היחידה בעלת התכונה האמורה (והוא שווה לחבורת פיטינג של G), אך המשלים אינו יחיד (כל תת-חבורה הצמודה למשלים, גם היא משלים; ואלו כל המשלימים, לפי משפט שור-זסנהאוז). הגרעין Q ומשלים שלו H מקיימים \ H \cap Q = 1 ו- \ G =HQ, כלומר, חבורת פרובניוס היא מכפלה ישרה למחצה של הגרעין במשלים שלו. זהו "פירוק Hall", כלומר, הסדרים של Q ושל H הם זרים.

מבנה[עריכת קוד מקור | עריכה]

גם לגרעין של חבורת פרובניוס וגם למשלימים שלו יש מבנה מוגבל ביותר. תומפסון הוכיח ב-1959 שהגרעין של חבורת פרובניוס הוא חבורה נילפוטנטית. זהו משפט קשה ומורכב. קל הרבה יותר להראות שאם המשלים H מסדר זוגי, אז הגרעין אבלי.

למשלים H יש התכונה שכל תת-חבורה שסדרה מכפלת שני ראשוניים, היא ציקלית. מכאן נובע שכל חבורת סילו של המשלים היא או ציקלית, או חבורת קווטרניונים מוכללת. אם H אינה פתירה, האנס זסנהאוז הראה שהיא, או תת-חבורה שלה מאינדקס 2, הן מכפלה של חבורת המטריצות \ SL_2(\mathbb{F}_5) בחבורה מטא-ציקלית שסדרה זר ל-30. אם H פתירה, יש לה תת-חבורה מטא-ציקלית נורמלית, כך שהמנה היא תת-חבורה של החבורה הסימטרית מסדר 4.

אף תת-חבורה של המשלים אינה חבורת פרובניוס בעצמה.

תת-חבורות וחבורות מנה[עריכת קוד מקור | עריכה]

כל תת-חבורה נורמלית של G מוכלת בגרעין, או מכילה אותו. אפשר לבנות מחבורת פרובניוס נתונה G=HQ חבורות פרובניוס נוספות, באופנים הבאים:

  • אם \ Q_1 \subseteq Q ו- \ H_1 \subseteq H תת-חבורות, כך ש- \ H_1\subseteq N_G(Q_1) (כלומר, \ H_1 מוכל בנורמליזטור של \ Q_1), אז \ H_1Q_1 חבורת פרובניוס.
  • בפרט, אם נבחר \ Q_1 = Q, אז לכל תת-חבורה \ H_1\subseteq H, המכפלה \ H_1 Q היא חבורת פרובניוס.
  • אם \ Q_1 \subseteq Q תת-חבורה נורמלית של G, אז המנה \ G/Q_1 היא חבורת פרובניוס (עם גרעין \ Q/Q_1).

תורת ההצגות[עריכת קוד מקור | עריכה]

אם \ \rho הצגה אי-פריקה לא טריוויאלית של Q, אז ההצגה המושרית \ \rho^G גם היא אי-פריקה. יתרה מזו, כל הצגה אי-פריקה של G מושרית או מ-Q, או מחבורת המנה \ G/Q \cong H. כאשר מצמצמים למשלים H הצגה אי-פריקה המושרית מ-Q ל-G, מתקבלת כפולה שלמה של ההצגה הרגולרית של H.

מקורות[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • W.R. Scott, Group Theory, Section 12.6.
  • J.L. Alperin and Rowen B. Bell, Groups and Representations, pp. 170-174.