טרנספורמציה גאומטרית

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

במתמטיקה, טרנספורמציה גאומטרית היא כל פונקציה חד-חד ערכית ועל של קבוצה לעצמה (או לקבוצה אחרת כזו) עם בסיס גאומטרי בולט כלשהו.[1] ליתר דיוק, מדובר בפונקציה שהתחום והטווח שלה הם קבוצה של נקודות - לרוב שתיהן או שתיהן כך שהפונקציה היא חד חד ערכי, כך קיימת לה פונקציה הפיכה.[2] ניתן לגשת לחקר הגאומטריה באמצעות חקר הטרנספורמציות הללו.[3]

סיווגים[עריכת קוד מקור | עריכה]

ניתן לסווג טרנספורמציות גאומטריות לפי הממד של מערכי האופראנד שלהן (ובכך להבחין בין, למשל, טרנספורמציות מישוריות לבין טרנספורמציות מרחביות). ניתן לסווג אותם גם לפי המאפיינים שהם משמרים:

כל אחת מהסיווגים לעיל מכיל את קודמו.[8]

  • טרנספורמציות של מוביוס באמצעות קואורדינטות מורכבות במטוס (כמו גם היפוך מעגלים) משמרות את מכלול כל הקווים והעיגולים, אך עשויות להחליף בין קווים ומעגלים.
  • דיפאומורפיזם (טרנספורמציות bidifferentiable) הם טרנספורמציות אפיניות מסדר ראשון. הן מכילות את הקודמים כמקרים מיוחדים וניתנים לתיאור מורחב נוסף.[9]
  • טרנספורמציות קונפורמיות שומרות על זוויות, והן, בסדר הראשון, דמיון.
  • טרנספורמציות שוויוניות, שימור שטחים בתיבה המישורית או נפחים במקרה התלת ממדי. והן, בסדר הראשון, טרנספורמציות אפיניות של דטרמיננטה 1.
  • הומיאומורפיזם (טרנספורמציות דו -רציפות) שומרת על שכנות הנקודות.

פעולות קבוצתיות מנוגדות[עריכת קוד מקור | עריכה]

טרנספורמציות גאומטריות רבות מבוטאות באמצעות אלגברה ליניארית. הטרנספורמציות הליניאריות הביג'קטיביות הן אלמנטים מהחבורה הליניארית הכללית. הטרנספורמציה הליניארית A איננה יחידה. עבור וקטור שורה v, הכפל המטריציוני vA נותן וקטור שורה נוסף w = vA .

שחלוף של וקטור שורה v היא וקטור עמודה v T, ושינוי השוויון הנ"ל הוא כאן A T מספק פעולה שמאלית על וקטורי עמודה.

בגאומטריה של טרנספורמציה יש קומפוזיציות AB . החל מהווקטור שורה v, הפעולה הנכונה של הטרנספורמציה המורכבת היא w = vAB. לאחר הטמפוזיציה,

כך עבור AB פעולת החבורה השמאלית הקשורה היא במחקר של קבוצות מנוגדות, ההבחנה נעשית בין פעולות קבוצתיות מנוגדות לקבוצות היחידות שההפכים האלה שווים להן הן קבוצות קומוטיביות.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]

לקריאה נוספת[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • Adler, Irving (2012) [1966], A New Look at Geometry, Dover, ISBN 978-0-486-49851-5
  • Dienes, Z. P.; Golding, E. W. (1967) . Geometry Through Transformations (3 vols.): Geometry of Distortion, Geometry of Congruence, and Groups and Coordinates. New York: Herder and Herder.
  • David GansTransformations and geometries.
  • Hilbert, David; Cohn-Vossen, Stephan (1952). Geometry and the Imagination (2nd ed.). Chelsea. ISBN 0-8284-1087-9.
  • John McCleary – Geometry from a Differentiable Viewpoint.
  • Modenov, P. S.; Parkhomenko, A. S. (1965) . Geometric Transformations (2 vols.): Euclidean and Affine Transformations, and Projective Transformations. New York: Academic Press.
  • A. N. Pressley – Elementary Differential Geometry.
  • Yaglom, I. M. (1962, 1968, 1973, 2009) . Geometric Transformations (4 vols.). Random House (I, II & III), MAA (I, II, III & IV).

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]

הערות שוליים[עריכת קוד מקור | עריכה]

  1. ^ "The Definitive Glossary of Higher Mathematical Jargon — Transformation". Math Vault (בAmerican English). 2019-08-01. נבדק ב-2020-05-02.
  2. ^ Zalman Usiskin, Anthony L. Peressini, Elena MarchisottoMathematics for High School Teachers: An Advanced Perspective, page 84.
  3. ^ Venema, Gerard A. (2006), Foundations of Geometry, Pearson Prentice Hall, p. 285, ISBN 9780131437005
  4. ^ "Geometry Translation". www.mathsisfun.com. נבדק ב-2020-05-02.
  5. ^ "Geometric Transformations — Euclidean Transformations". pages.mtu.edu. נבדק ב-2020-05-02.
  6. ^ "Transformations". www.mathsisfun.com. נבדק ב-2020-05-02.
  7. ^ "Geometric Transformations — Affine Transformations". pages.mtu.edu. נבדק ב-2020-05-02.
  8. ^ 1 2 Leland Wilkinson, D. Wills, D. Rope, A. Norton, R. Dubbs – Geometric transformation, p. 182, at Google Books
  9. ^ stevecheng (2013-03-13). "first fundamental form" (PDF). planetmath.org. נבדק ב-2014-10-01.