טרנספורמציה גאומטרית

במתמטיקה, טרנספורמציה גאומטרית היא כל פונקציה חד-חד ערכית ועל של קבוצה לעצמה (או לקבוצה אחרת כזו) עם בסיס גאומטרי בולט כלשהו. ליתר דיוק, מדובר בפונקציה שהתחום והטווח שלה הם קבוצה של נקודות - לרוב שתיהן $\mathbb {R} ^{2}$ או שתיהן $\mathbb {R} ^{3}$ כך שהפונקציה היא חד חד ערכי, כך קיימת לה פונקציה הפיכה. ניתן לגשת לחקר הגאומטריה באמצעות חקר הטרנספורמציות הללו.

סיווגים

ניתן לסווג טרנספורמציות גאומטריות לפי הממד של מערכי האופראנד שלהן (ובכך להבחין בין, למשל, טרנספורמציות מישוריות לבין טרנספורמציות מרחביות). ניתן לסווג אותם גם לפי המאפיינים שהם משמרים:

• העתקים משמרים מרחקים וזוויות (למשל, תרגומים )
• איזומטריות שומרות על זוויות ומרחקים (למשל, טרנספורמציות אוקלידיות)
• דמיון שומירה על זוויות ויחסים בין מרחקים (למשל שינוי גודל)
• טרנספורמציות אפיניות משמרות מקביליות (למשל, קנה מידה, גזירה)
• טרנספורמציות השלכתיות (Projective) משמרות את הקוליניאריות (Collinearity)

כל אחת מהסיווגים לעיל מכיל את קודמו.

• טרנספורמציות של מוביוס באמצעות קואורדינטות מורכבות במטוס (כמו גם היפוך מעגלים) משמרות את מכלול כל הקווים והעיגולים, אך עשויות להחליף בין קווים ומעגלים.

• 
  התמונה המקורית (מבוססת על מפת צרפת)
• 
  איזומטריה
• 
  דמיון
• 
  העתקת האפיין
• 
  טרנספורמציה השלכתית
• 
  היפוך

• דיפאומורפיזם (טרנספורמציות bidifferentiable) הם טרנספורמציות אפיניות מסדר ראשון. הן מכילות את הקודמים כמקרים מיוחדים וניתנים לתיאור מורחב נוסף.
• טרנספורמציות קונפורמיות שומרות על זוויות, והן, בסדר הראשון, דמיון.
• טרנספורמציות שוויוניות, שימור שטחים בתיבה המישורית או נפחים במקרה התלת־ממדי. והן, בסדר הראשון, טרנספורמציות אפיניות של דטרמיננטה 1.
• הומיאומורפיזם (טרנספורמציות דו -רציפות) שומרת על שכנות הנקודות.

• 
  טרנספורמציה קונפורמית
• 
  טרנספורמציה שוויונית
• 
  דיפאומורפיזם
• 
  הומיאומורפיזם

פעולות קבוצתיות מנוגדות

טרנספורמציות גאומטריות רבות מבוטאות באמצעות אלגברה ליניארית. הטרנספורמציות הליניאריות הביג'קטיביות הן אלמנטים מהחבורה הליניארית הכללית. הטרנספורמציה הליניארית A איננה יחידה. עבור וקטור שורה v, הכפל המטריציוני vA נותן וקטור שורה נוסף w = vA .

שחלוף של וקטור שורה v היא וקטור עמודה v ^T, ושינוי השוויון הנ"ל הוא $w^{T}=(vA)^{T}=A^{T}v^{T}.$ כאן A ^T מספק פעולה שמאלית על וקטורי עמודה.

בגאומטריה של טרנספורמציה יש קומפוזיציות AB . החל מהווקטור שורה v, הפעולה הנכונה של הטרנספורמציה המורכבת היא w = vAB. לאחר הטמפוזיציה,

$w^{T}=(vAB)^{T}=(AB)^{T}v^{T}=B^{T}A^{T}v^{T}.$

כך עבור AB פעולת החבורה השמאלית הקשורה היא $B^{T}A^{T}.$ במחקר של קבוצות מנוגדות, ההבחנה נעשית בין פעולות קבוצתיות מנוגדות לקבוצות היחידות שההפכים האלה שווים להן הן קבוצות קומוטיביות.

ראו גם

• שיקוף
• טופולוגיה
• מטריציית מעבר

לקריאה נוספת

• Adler, Irving (2012) [1966], A New Look at Geometry, Dover, ISBN 978-0-486-49851-5
• Dienes, Z. P.; Golding, E. W. (1967) . Geometry Through Transformations (3 vols.): Geometry of Distortion, Geometry of Congruence, and Groups and Coordinates. New York: Herder and Herder.
• David Gans – Transformations and geometries.
• Hilbert, David; Cohn-Vossen, Stephan (1952). Geometry and the Imagination (2nd ed.). Chelsea. ISBN 0-8284-1087-9.
• John McCleary – Geometry from a Differentiable Viewpoint.
• Modenov, P. S.; Parkhomenko, A. S. (1965) . Geometric Transformations (2 vols.): Euclidean and Affine Transformations, and Projective Transformations. New York: Academic Press.
• A. N. Pressley – Elementary Differential Geometry.
• Yaglom, I. M. (1962, 1968, 1973, 2009) . Geometric Transformations (4 vols.). Random House (I, II & III), MAA (I, II, III & IV).

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא טרנספורמציה גאומטרית בוויקישיתוף