מטריצה סימטרית

באלגברה ליניארית, מטריצה סימטרית היא מטריצה ריבועית A, הנשמרת תחת פעולת השחלוף, כלומר, מתקיים $\ A^{t}=A$ . אם $A=[a_{ij}]_{i,j=1}^{n}$ אזי $A^{t}=[a_{ji}]_{i,j=1}^{n}$ ותנאי הסימטריות למעשה אומר $\forall 1\leq i,j\leq n:a_{ij}=a_{ji}$ .

ציר הסימטריה הוא האלכסון הראשי כך שהאיברים הנמצאים מעליו שווים לאיברים המשתקפים מתחתיו (תמונת מראה).

הצורה כללית של מטריצה סימטרית בגודל 3 על 3 היא $\left[{\begin{matrix}a&b&c\\b&d&e\\c&e&f\end{matrix}}\right]$ .

אוסף המטריצות הסימטריות מסדר n הוא מרחב וקטורי. מעל שדה המספרים הממשיים מטריצה סימטרית ממשית היא צמודה לעצמה, ולכן לכסינה אורתוגונלית. בפרט, הערכים העצמיים של מטריצה סימטרית ממשית הם ממשיים.

מטריצה אנטי-סימטרית[עריכת קוד מקור | עריכה]

מטריצה A המקיימת $\ A^{t}=-A$ היא מטריצה אנטי-סימטרית. כאשר שדה הבסיס בעל מאפיין שונה מ-2, כל האיברים באלכסון הראשי של מטריצה אנטי-סימטרית שווים לאפס. בנוסף לזה, מרחב המטריצות מתפרק לסכום ישר של מרחב המטריצות הסימטריות ומרחב המטריצות האנטי-סימטריות. כל מטריצה A היא סכום של מטריצה סימטרית: ${\frac {A+A^{t}}{2}}$ ומטריצה אנטי סימטרית: ${\frac {A-A^{t}}{2}}$ ונוסחת הממדים היא $\ n^{2}={\frac {n^{2}+n}{2}}+{\frac {n^{2}-n}{2}}$ .