עקומה

פרבולה, דוגמה פשוטה של עקומה

נויה פלד עקומה @_noyapeled

במתמטיקה, עקומה היא קו חד־ממדי ורציף. בצורה אינטואיטיבית, עקומה היא קו ישר שהופעלו עליו פעולות של עיקום ופיתול, מבלי "לקרוע" אותו. עקומות מופיעות ברבים מתחומי המתמטיקה, ובפרט בגאומטריה, אנליזה מתמטית וטופולוגיה.

דוגמאות פשוטות לעקומות הן קו ישר, מעגל, חתכי חרוט אחרים, גרף של פונקציה רציפה וכדומה.

הגדרה פורמלית

כאשר באים להגדיר עקומה בצורה פורמלית, הדרך הטובה ביותר לעשות זאת היא באמצעות פונקציה רציפה שתחומה הוא קטע של המספרים הממשיים, וטווחה הוא מרחב טופולוגי כלשהו. בצורה זו נשמרת התמונה האינטואיטיבית של "הקו הישר שאנו מעקמים ומפתלים", ויחד עם זאת מושג תיאור מדויק של העקומה. מכאן שמבחינה פורמלית, עקומה היא פונקציה.

יהא $\ I\subseteq \mathbb {R}$ קטע על הישר הממשי. נקרא לפונקציה $\gamma \colon I\to X$ עקומה אם $X$ הוא מרחב טופולוגי כלשהו, ו-$\gamma$ היא פונקציה רציפה. בדרך כלל, כאשר משתמשים במונח "עקומה" מניחים ש-$X=\mathbb {R} ^{n}$ הוא המרחב האוקלידי ה-$n$-ממדי. במקרה זה, למרחב הטופולוגי יש גם מבנה של מרחב וקטורי ומרחב מטרי ואפשר לנתח את העקומה בכלים של אנליזה וקטורית וגאומטריה דיפרנציאלית.

עקומה פשוטה

אם $\gamma$ חד-חד ערכית נאמר שהיא עקומה פשוטה. מבחינה אינטואיטיבית, הכוונה היא שהעקומה לא חותכת את עצמה, לא חוזרת על עצמה, כלומר "אין בה לולאות" וגם אין "התקדמות אחורה", כלומר מצב בו העקומה נעה לאחור על עצמה.

עקומה רגולרית

עקומה $\gamma (t)=\left(\gamma _{1}(t),\dots ,\gamma _{n}(t)\right)\in \mathbb {R} ^{n}$ נקראת רגולרית אם הווקטור המשיק לעקומה ${\dot {\gamma }}(t)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\gamma (t)$ לא מתאפס באף נקודה. כלומר: $\forall t\in I:|{\dot {\gamma }}(t)|\neq 0$. כלומר, העקומה לא "נעצרת" או "חוזרת על עקבותיה".

עקומה סגורה

אם $I=[a,b]$, כלומר הוא קטע סגור וחסום, ואם $\gamma (a)=\gamma (b)$ נאמר שהעקומה סגורה (שני הקצוות שלה מחוברים). אם היא חד-חד-ערכית פרט לקצוות, נאמר שהיא פשוטה וסגורה. ניתן לראות עקומה כזו כתמונה של מעגל היחידה במישור. עקומה שכזו מכונה גם "עקומת ז'ורדן", בשל הופעתה במשפט ז'ורדן.

עקומה חלקה למקוטעין

עקומה $\gamma (t)$ נקראת חלקה למקוטעין אם היא רציפה וגזירה ברציפות פרט למספר סופי של נקודות (למשל משולש).

אורך של עקומה

במרחב מטרי $(X,d)$ אורך של עקומה $\gamma \colon [a,b]\to X$ מוגדר על ידי

${\textrm {length}}(\gamma )=\ell (\gamma )=\sup \left\{\sum _{k=0}^{n}d(\gamma (t_{k}),\gamma (t_{k+1}))\right\}$

כאשר הסופרמום רץ על כל $n\in \mathbb {N}$ ועל כל $a=t_{0}<t_{1}<...<t_{n}<t_{n+1}=b$ חלוקה של הקטע $[a,b]$. זהו למעשה הסופרמום של אורכי העקומות הפוליגוניות (עקומות המורכבות ממספר סופי של קווים ישרים) המקרבות את העקומה.

אם העקומה $\gamma (t)$ גזירה ברציפות ורגולרית, אפשר לחשב את אורך העקומה לפי הנוסחה הבאה:

$\ell (\gamma )=\int _{a}^{b}\|\gamma '(t)\|\,\mathrm {d} t$

במקרה שהעקומה נתונה כגרף של פונקציה רציפה $y=f(x)$ אורך משיק אינפיניטסימלי של קירוב פוליגוני $\mathrm {d} \ell$, הוא לפי משפט פיתגורס $(\mathrm {d} \ell )^{2}=(\mathrm {d} x)^{2}+(\mathrm {d} y)^{2}$, אם הפונקציה גזירה אזי אפשר לרשום

$\ell =\int _{a}^{b}\mathrm {d} \ell =\int _{a}^{b}{\sqrt {(\mathrm {d} x)^{2}+(\mathrm {d} y)^{2}}}=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+\left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\right)^{2}}}\,\mathrm {d} x=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+(f'(x))^{2}}}\,\mathrm {d} x$

לנוסחה זו אפשר להגיע באופן ריגורוזי על ידי הצבת הפרמרטריזציה $(t,f(t))$ בנוסחה הכללית.

פרמטריזציה טבעית

לעקומה רגולרית אפשר להגדיר פרמטריזציה טבעית שבה הפרמטר האפיני $t$ מוחלף באורך העקומה $\ell$. במקרה זה

$\mathrm {d} \ell =\|{\dot {\gamma }}(t)\|\,\mathrm {d} t=\|\gamma '(t)\|\,\mathrm {d} t$

כאשר

$\ \ell (t)=\int _{t_{0}}^{t}\|\gamma '(\tau )\|\,\mathrm {d} \tau$

הפרמטר $\ell (t)$ נקרא "הפרמטר הטבעי" של עקומה.

אזי מתקיים שהווקטור המשיק הוא תמיד מנורמל, שכן

$\ \left\|{\frac {\mathrm {d} \gamma (\ell )}{\mathrm {d} \ell }}\right\|={\frac {1}{\|{\dot {\gamma }}\|}}\left\|{\frac {\mathrm {d} \gamma }{\mathrm {d} t}}\right\|=1$

במשוואות פרנה ומשוואות פרנה-סרה משתמשים בעקומות בעלות פרמטריזציה טבעית, וכן גם בהגדרת האוולוט.

ראו גם

• מבחן הקו האנכי
• חבורה יסודית
• עקום אלגברי

קישורים חיצוניים

• עקומה, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)
• עקומות, דף שער בספרייה הלאומית
• עקומה, באתר MathWorld (באנגלית)