מספר שמח – הבדלי גרסאות
Ofekgillon10 (שיחה | תרומות) אין תקציר עריכה |
Ofekgillon10 (שיחה | תרומות) אין תקציר עריכה |
||
שורה 1: | שורה 1: | ||
{{לפשט}} |
{{לפשט}} |
||
הכינוי "'''מספר שמח'''" הוצע{{מקור}} לתיאור ה[[מספר טבעי|מספרים]] שעבורם התהליך של חישוב [[סכום]] [[ריבוע (חזקה)|ריבועי]] ה[[ספרה|ספרות]] (בבסיס 10), וחוזר חלילה, מסתיים במספר 1. |
הכינוי "'''מספר שמח'''" הוצע{{מקור}} לתיאור ה[[מספר טבעי|מספרים]] שעבורם התהליך של חישוב [[סכום]] [[ריבוע (חזקה)|ריבועי]] ה[[ספרה|ספרות]] (בבסיס 10), וחוזר חלילה, מסתיים במספר 1. |
||
במילים אחרות, אם נחבר את סכום ריבועי |
במילים אחרות, אם נחבר את סכום ריבועי ההספרות שלו שוב ושוב נקבל בסופו של דבר 1. |
||
== הגדרה == |
== הגדרה == |
גרסה מ־00:08, 2 במרץ 2011
יש לפשט ערך זה: הערך מנוסח באופן טכני מדי, וקשה להבנה לקהל הרחב.
| ||
יש לפשט ערך זה: הערך מנוסח באופן טכני מדי, וקשה להבנה לקהל הרחב. | |
הכינוי "מספר שמח" הוצע[דרוש מקור] לתיאור המספרים שעבורם התהליך של חישוב סכום ריבועי הספרות (בבסיס 10), וחוזר חלילה, מסתיים במספר 1. במילים אחרות, אם נחבר את סכום ריבועי ההספרות שלו שוב ושוב נקבל בסופו של דבר 1.
הגדרה
הפונקציה מוגדרת כך ש- הוא סכום ריבועי הספרות של . מכיוון שלמספר n יש פחות מ- ספרות, מתקיים , ולכן לכל (בדיקה ישירה מראה שלמעשה, לכל ). מכאן נובע שהפעלה חוזרת של f מוכרחה להסתיים או בנקודת שבת (היינו, מספר m שעבורו ), או במחזור סופי.
נקודת השבת היחידה היא , ומספרים שעבורם התהליך מסתיים בה, נקראים "שמחים". בדיקה ישירה של המספרים הקטנים מראה שכל מספר שאינו שמח מגיע למחזור באורך 8, .
דוגמה
7 הוא "מספר שמח", מאחר שהרצף עבורו הוא: .
קל לראות שישנם אינסוף מספרים "שמחים", ואינסוף מספרים שאינם כאלה. חיפוש ממוחשב עד ל-1020 מעלה כי בערך 12% מהמספרים הם "שמחים", אך הצפיפות המדויקת אינה ידועה.
תחילתה של סדרת המספרים השמחים היא: