אופרטור צמוד

באלגברה לינארית והכללותיה, האופרטור הצמוד לאופרטור לינארי $\ T:V\rightarrow W$ הוא אופרטור לינארי אחר, $\ T^{*}:W^{*}\rightarrow V^{*}$. בנוכחות מכפלה פנימית האופרטור הצמוד הוא אופרטור $\ T^{*}:W\rightarrow V$. פעולת ההצמדה מהווה אינוולוציה של חוג האנדומורפיזמים של מרחב מכפלה פנימית. הקשרים בין האופרטור לצמוד שלו מאפיינים כמה מן המשפחות החשובות ביותר של אופרטורים, ובפרט מאפשרים לזהות מתי אופרטור ניתן ללכסון.

המקרה הכללי

לכל מרחב וקטורי V מוגדר המרחב הדואלי $\ V^{*}$ של כל הפונקציונלים $\ V\rightarrow F$. אם $\ T:V\rightarrow W$ העתקה לינארית, ההעתקה הצמודה היא אופרטור $\ T^{*}:W^{*}\rightarrow V^{*}$ המוגדרת לפי הכלל הפשוט $\ (T^{*}f)(v)=f(Tv)$; כלומר, $\ T^{*}$ פועל על פונקציונלים $\ f:W\rightarrow F$ על ידי הרכבת T מימין.

פעולת הצמוד היא לינארית: אם $\ T,S:V\rightarrow W$ שתי העתקות לינאריות ו-$\ \alpha \in F$ הוא סקלר, אז $\ (T+S)^{*}=T^{*}+S^{*}$ ו- $\ (\alpha T)^{*}=\alpha T^{*}$.

אם U,V,W מרחבים וקטוריים ו- $\ T:V\rightarrow W,\,S:W\rightarrow U$ העתקות, אז $\ (ST)^{*}=T^{*}S^{*}$ משום ש-$\ ((ST)^{*}g)(v)=g(STv)=S^{*}g(Tv)=(T^{*}(S^{*}g))(v)$.

בדומה לזה מוגדר הצמוד של הצמוד, $\ T^{**}:V^{**}\rightarrow W^{**}$, לפי $\ (T^{**}\varphi )(f)=\varphi (T^{*}f)$. כל מרחב וקטורי V משוכן באופן טבעי במרחב הדואלי לדואלי שלו, $\ V^{**}$, כאשר מפרשים וקטור v כפעולה $\ V^{*}\rightarrow F$ המוגדרת לפי $\ v(f)=f(v)$. תחת הפירוש הזה, $\ T^{**}$ מתלכד עם T בכל מקום שבו האחרון מוגדר, משום ש-$\ (T^{**}v)(f)=v(T^{*}f)=(T^{*}f)(v)=f(Tv)=(Tv)(f)$ לכל $\ f:W\rightarrow F$.

מרחבי מכפלה פנימית

כאשר מוגדרת על V מכפלה פנימית, היא מאפשרת לזהות את V עם המרחב הדואלי שלו, בכך שכל וקטור x מותאם לפונקציונל $\ f_{x}:y\mapsto (y,x)$. נניח שגם על W מוגדרת מכפלה פנימית משלו. אם $\ T:V\rightarrow W$ העתקה לינארית, אז לכל $\ w\in W$ ולכל $\ v\in V$ מתקיים $\ (v,T^{*}w)=(T^{*}f_{w})(v)=f_{w}(Tv)=(Tv,w)$. את השוויון $\ (v,T^{*}w)=(Tv,w)$ אפשר לקבל מלכתחילה כהגדרה של $\ T^{*}:W\rightarrow V$, והגדרה זו מתלכדת כאמור עם ההגדרה במקרה הכללי.

במקרה של מכפלה פנימית הרמיטית, כגון מכפלה פנימית מעל שדה המספרים המרוכבים שבה מתקיים $\ (x,\alpha y)={\bar {\alpha }}(x,y)$, הזיהוי של V עם המרחב הדואלי הוא דרך פעולה צמודה של הסקלרים, ולכן במקרה זה יש לקרוא את נוסחת הכפל בסקלר שהוזכרה לעיל כך: $\ (\alpha T)^{*}={\bar {\alpha }}T^{*}$.

במקרה המיוחד V=W, הלינאריות של פעולת ההצמדה, יחד עם חוק הכפל $\ (ST)^{*}=T^{*}S^{*}$, הופכים את ההצמדה לאינוולוציה של חוג האנדומורפיזמים $\ \operatorname {End} (V)$ (שאבריו הם כל ההעתקות הלינאריות מ-V ל-V).

אופרטורים מיוחדים

לכל אופרטור $\ T:V\rightarrow W$ בין מרחבי מכפלה פנימית יש משמעות להרכבות $\ TT^{*},T^{*}T$, ששתיהן העתקות $\ V\rightarrow V$, ולכן אפשר להשוות ביניהן. אם $\ TT^{*}=T^{*}T$ ההעתקה נקראת נורמלית. אם $\ TT^{*}$ היא הזהות ההעתקה נקראת אוניטרית (ובהקשר מעט שונה אורתוגונלית). אם $\ T^{*}=T$ ההעתקה היא הרמיטית.

מטריצות

בין מרחבים וקטוריים מממד סופי אפשר לתאר כל העתקה לינארית באמצעות מטריצה, על ידי בחירת בסיס לכל מרחב. בפרט, עבור מרחבי הווקטורים הסטנדרטיים, בחירת הבסיס הסטנדרטי כבסיס מייצג מאפשרת לחשב את האופרטור הצמוד בקלות: $\ A^{*}=({\bar {a_{ji}}})_{ij}$, כלומר שחלוף ואז הפעלת הצמוד המרוכב.