העתקה נורמלית

באלגברה ליניארית, אופרטור נורמלי (בעברית: העתקה נורמלית) היא העתקה ליניארית ממרחב מכפלה פנימית לעצמו, המתחלפת עם ההעתקה הצמודה שלה. בפרט, כל העתקה אוניטרית, הרמיטית או אנטי-הרמיטית היא נורמלית. המטריצה המייצגת של העתקה נורמלית, ביחס לבסיס אורתונורמלי, היא מטריצה נורמלית.

במרחב מממד סופי, העתקה היא נורמלית אם ורק אם היא ניתנת ללכסון אוניטרי. משפט הפירוק הספקטרלי מכליל עובדה זו למרחבי הילברט.

הגדרה ואפיון

העתקה ליניארית $T$ ממרחב מכפלה פנימית $V$ אל עצמו היא נורמלית, אם מתקיים $TT^{*}=T^{*}T$, כאשר $T^{*}$ היא ההעתקה המוגדרת (על פי משפט ההצגה של ריס) על ידי הנוסחה $\left\langle x,Ty\right\rangle =\left\langle T^{*}x,y\right\rangle$ לכל $x,y\in T$.

העתקות מתחלפות

תהי $T$ העתקה לכסינה ממרחב וקטורי $V$ לעצמו. כלומר, אפשר לפרק $V=\bigoplus V_{i}$ כאשר $T(x)=\lambda _{i}x$ לכל $x\in V_{i}$, והערכים העצמיים $\lambda _{i}$ שונים זה מזה. העתקה $S$ מ-$V$ לעצמו מתחלפת עם $T$ אם ורק אם היא שומרת על כל אחד מהמרחבים העצמיים $V_{i}$.

בפרט, נניח ש-$T$ העתקה לכסינה שהערכים העצמיים שלה שונים זה מזה (בסימוני הפסקה הקודמת, $\dim(V_{i})=1$). אז $S$ מתחלפת עם $T$ אם ורק אם הן לכסינות במשותף, כלומר יש בסיס של $V$ שאבריו הם וקטורים עצמיים של $T$ ושל $S$ גם יחד.

וקטורים עצמיים וערכים עצמיים

תהי $T$ העתקה נורמלית.

1. לכל סקלר $\alpha$, גם $T-\alpha I$ נורמלית.
2. לכל $v$ מתקיים $\|Tv\|^{2}=\|T^{*}v\|^{2}$

   (משום ש-$\|Tv\|^{2}=\langle Tv,Tv\rangle =\langle v,T^{*}Tv\rangle =\langle v,TT^{*}v\rangle =\langle T^{*}v,T^{*}v\rangle =\|T^{*}v\|^{2}$).

3. אם $Tx=\lambda x$, אז $T^{*}x={\bar {\lambda }}x$.

   (אכן, לפי ההנחה $(T-\lambda )x=0$, ולפי 1,2 גם $(T^{*}-{\bar {\lambda }})x=(T-\lambda )^{*}x=0$).

4. וקטורים עצמיים של ערכים עצמיים שונים הם אורתוגונליים זה לזה.

   (אכן, אם $Tx=\lambda x$ ו-$Ty=\mu y$, אז לפי 3 $\lambda \langle x,y\rangle =\langle \lambda x,y\rangle =\langle Tx,y\rangle =\langle x,T^{*}y\rangle =\langle x,{\bar {\mu }}y\rangle =\mu \langle x,y\rangle$).

לכסון אוניטרי

משפט. תהי $T$ העתקה ליניארית ממרחב מכפלה פנימית סוף-ממדי $V$ לעצמו (מעל שדה המספרים המרוכבים). אז $T$ נורמלית אם ורק אם $T$ לכסינה אוניטרית (מעל המרוכבים).

הוכחה. אם $T$ לכסינה אוניטרית אפשר לכתוב $T=PDP^{*}$ כאשר $P^{*}=P^{-1}$ ו-$D$ אלכסונית. במקרה כזה קל לחשב ש-$TT^{*}=PDP^{*}(PDP^{*})^{*}=PD(P^{*}P)D^{*}P^{*}=PDD^{*}P^{*}=PD^{*}DP^{*}=(PD^{*}P^{*})(PDP^{*})=T^{*}T$.

בכיוון ההפוך, מכיוון שהפולינום האופייני של $T$ מתפצל מעל המרוכבים, $T$ ניתנת להצגה על ידי מטריצה משולשית, כלומר קיים בסיס $v_{1},\dots ,v_{n}$ כך שלכל $i$ מתקיים $Tv_{i}\in \operatorname {span} \{v_{1},\dots ,v_{i}\}$. הפעלה של תהליך גרם-שמידט על הבסיס הזה משאירה את $T$ משולשית. הצבה של ההצגה המשולשית בשוויון $TT^{*}=T^{*}T$ מראה שלמעשה $T$ פועלת עליו בצורה אלכסונית, כלומר היא אלכסונית ביחס לבסיס אורתוגונלי.

בניסוח אחר,

משפט. תהי $A\in \operatorname {M} _{n}(\mathbb {C} )$. אז $A$ נורמלית אם ורק אם היא לכסינה אוניטרית (מעל המרוכבים).

מכיוון שהערכים העצמיים של מטריצה סימטרית ממשית הם ממשיים, הוכחה דומה מוכיחה את הגרסה הממשית של המשפט:

משפט. כל מטריצה סימטרית $A\in \operatorname {M} _{n}(\mathbb {R} )$ היא לכסינה אוניטרית מעל הממשיים.