פונקציה אופיינית (הסתברות)

בתורת ההסתברות ובסטטיסטיקה, פונקציה אופיינית של משתנה מקרי היא פונקציה המתארת את ההתפלגות שלו. בעזרתה ניתן לנתח את ההתפלגות של משתנה אקראי באופן מלא מבלי להשתמש בפונקציית צפיפות ההסתברות או בפונקציית ההצטברות. הפונקציה האופיינית שימושית במיוחד לתיאור ההתפלגות של צירוף ליניארי של משתנים אקראיים.

הגדרה

הפונקציה האופיינית של משתנה אקראי X היא פונקציה מרוכבת המוגדרת כתוחלת של e^itX, כאשר i הוא היחידה המדומה ו-t מספר ממשי שמהווה את המשתנה של הפונקציה האופיינית:

$\varphi _{X}(t)=\operatorname {E} [\,e^{itX}\,]$

בחישוב התוחלת כאינטגרל, הפונקציה האופיינית מתקבלת כהתמרת פורייה הפוכה של פונקציית צפיפות ההסתברות:

$\varphi _{X}(t)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{itx}\,dF_{X}(x)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{itx}f_{X}(x)\,dx$

לפונקציה האופיינית קשר פשוט לפונקציה יוצרת המומנטים (אם מרחיבים את תחום ההגדרה שלה למרוכבים):

$\varphi _{X}(-it)=M_{X}(t)$

בניגוד לפונקציה יוצרת מומנטים, הפונקציה האופיינית תמיד קיימת וממנה ניתן לקבל את פונקציית צפיפות ההסתברות ואת המומנטים או להסיק על אי קיומם.

שימושים

• הפונקציה האופיינית של סכום של שני משתנים אקראיים בלתי תלויים סטטיסטית היא מכפלת הפונקציות האופייניות שלהם:

$\varphi _{X+Y}(t)=E\left(e^{it(X+Y)}\right)=E\left(e^{itX}e^{itY}\right)=E\left(e^{itX}\right)E\left(e^{itY}\right)=\varphi _{X}(t)\varphi _{Y}(t)$

• ניתן לחשב את המומנטים (אם הם קיימים) על ידי גזירת הפונקציה האופיינית:

$\operatorname {E} \left(X^{n}\right)=i^{-n}\,\left[{\frac {d^{n}}{dt^{n}}}\varphi _{X}(t)\right]_{t=0}\,\!$

דוגמאות

התפלגות	הפונקציה האופיינית
התפלגות מנוונת	$\,e^{ita}$
התפלגות בינומית	$\,(1-p+pe^{it})^{n}$
התפלגות פואסון	$\,e^{\lambda (e^{it}-1)}$
התפלגות אחידה רציפה	$\,{\frac {e^{itb}-e^{ita}}{it(b-a)}}$
התפלגות נורמלית	$\,e^{it\mu -{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}t^{2}}$
התפלגות כי בריבוע	$\,(1-2it)^{-k/2}$
התפלגות קושי	$\,e^{ix_{0}t-\gamma |t|}$
התפלגות מעריכית	$\,(1-it\lambda ^{-1})^{-1}$

הסבר לבניית הפונקציה

הפונקציה האופיינית כמו שהיא, מהגרף ניתן לראות שהיא חח"ע מ-R ל-R לכל פונקציה f שניקח ונכפיל סביב הפונקציה האופיינית בצורתה הבסיסית ביותר, שהיא רצה סביב ציר ה-X בכל נקודה על ציר ה-x.

בעין, מהמסקנה הנל קל לראות שאם ניקח פונקציה כלשהי ונכפיל בפונקציה האופיינית,נקבל כפולה חח"ע של הפונקציה האופיינית.

קישורים חיצוניים

• פונקציה אופיינית, באתר MathWorld (באנגלית)