התפלגות כי בריבוע

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
התפלגות כי בריבוע
פונקציית צפיפות ההסתברות
Chi-square pdf.svg
פונקציית ההסתברות המצטברת
Chi-square cdf.svg
מאפיינים
פרמטרים k \in \mathbb{N}_{>0}~~ (ידוע כ"דרגות חופש")
תומך x \in [0, +\infty)
פונקציית צפיפות הסתברות
(pdf)
\frac{1}{2^{\frac{k}{2}}\Gamma\left(\frac{k}{2}\right)}\; x^{\frac{k}{2}-1} e^{-\frac{x}{2}}\,
פונקציית ההסתברות המצטברת
(cdf)
1-\frac{1}{\Gamma\left(\frac{k}{2}\right)}\;\gamma\left(\tfrac{k}{2},\,\frac{x}{2}\right)
תוחלת k
סטיית תקן \sqrt{2k}
חציון \approx k\bigg(1-\frac{2}{9k}\bigg)^3
ערך שכיח \max(k-2,0)
שונות 2k
אנטרופיה \begin{align}\tfrac{k}{2}&+\ln(2\Gamma(\tfrac{k}{2})) \\ &\!+(1-\tfrac{k}{2})\psi(\tfrac{k}{2}) \,{\scriptstyle\text{(nats)}}   \end{align}
פונקציה יוצרת מומנטים
(mgf)
(1-2t)^{-\frac{k}{2}} \text{ for } t < \frac{1}{2}
פונקציה אופיינית (1-2it)^{-\frac{k}{2}}      
צידוד \scriptstyle\sqrt{8/k}\,
גבנוניות \frac{12}{k}

התפלגות כי בריבוע (\ \chi^2, נהגה בכ' רפה, לעתים נרשם חי בריבוע) היא התפלגות בעלת חשיבות רבה בסטטיסטיקה. חשיבותה העיקרית בסטטיסטיקה היסקית נובעת מכך שתחת הנחות סבירות, גדלים הניתנים לחישוב באופן פשוט מתפלגים בקירוב בהתאם להתפלגות זו תחת השערת האפס. בין היתר, ההתפלגות משמשת כבסיס למבחן כי בריבוע. השם "כי בריבוע" מקורו באות היוונית \ \chi, כי.

הגדרה[עריכת קוד מקור | עריכה]

בהינתן \ k משתנים אקראיים Z_1, \ldots, Z_k בלתי תלויים סטטיסטית, כולם מתפלגים נורמלית עם תוחלת 0 ושונות 1,

נגדיר:

Y=Z_1^2 + \cdots + Z_k^2

אזי נאמר ש-\ Y מתפלג כי בריבוע עם \ k דרגות חופש. מסמנים זאת על פי רוב כך:

Y \sim \chi^2_k

התפלגות כי בריבוע היא התפלגות בעלת פרמטר יחיד, המספר הטבעי \ k, המכונה מספר דרגות החופש של ההתפלגות.

צפיפות ההסתברות של משתנה כי בריבוע נתונה על ידי


f(x;k)=
\begin{cases}\displaystyle
\frac{1}{2^{k/2}\Gamma(k/2)}\,x^{(k/2) - 1} e^{-x/2}&\text{for }x>0\\
0&\text{for }x\le0
\end{cases}

כאשר \ \Gamma(z) היא פונקציית גמא, עבורה ישנם ביטויים פשוטים כאשר \ z הוא מספר חצי-שלם.

התפלגות כי בריבוע היא מקרה פרטי של התפלגות גמא.


Allianz AG.png ערך זה הוא קצרמר בנושא סטטיסטיקה. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולהרחיב אותו.